三角関数例

$\sin (\arccos (\frac{1}{2}) + \arctan (1))$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$\sin (\frac{π}{3} + \arctan (1))$

ステップ 1.2

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$\sin (\frac{π}{3} + \frac{π}{4})$

ステップ 2

$\frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

ステップ 3

$\frac{π}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\sin (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 4.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\sin (\frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 4.3

$\frac{π}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\sin (\frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

ステップ 4.4

$4$ に $3$ をかけます。

$\sin (\frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12})$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\sin (\frac{π \cdot 4 + π \cdot 3}{12})$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\sin (\frac{4 \cdot π + π \cdot 3}{12})$

ステップ 6.2

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\sin (\frac{4 π + 3 \cdot π}{12})$

ステップ 6.3

$4 π$ と $3 π$ をたし算します。

$\sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 7

$\sin (\frac{7 π}{12})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ です。

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ステップ 7.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{7 π}{12}$ を書き直します。

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

ステップ 7.2

制限半角の公式を当てはめます。

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

ステップ 7.3

正弦が第二象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

ステップ 7.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 7.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

ステップ 7.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 7.4.3

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 7.4.3.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 7.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 7.4.5

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 7.4.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 7.4.7

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.4.7.1

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 7.4.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

ステップ 7.4.8

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 7.4.9

分母を簡約します。

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ステップ 7.4.9.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 7.4.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

10進法形式：

$0.96592582 \dots$

三角関数 例

三角関数例