三角関数例

$\sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

ステップ 1

$\sin (\frac{7 π}{12})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{7 π}{12}$ を書き直します。

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

ステップ 1.2

制限半角の公式を当てはめます。

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \sin (\frac{5 π}{12})$

ステップ 1.3

正弦が第二象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

ステップ 1.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

ステップ 1.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

ステップ 1.4.3

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

ステップ 1.4.3.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

ステップ 1.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

ステップ 1.4.5

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

ステップ 1.4.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

ステップ 1.4.7

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.7.1

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

ステップ 1.4.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \sin (\frac{5 π}{12})$

ステップ 1.4.8

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{5 π}{12})$

ステップ 1.4.9

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.9.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{5 π}{12})$

ステップ 1.4.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{5 π}{12})$

ステップ 2

$\sin (\frac{5 π}{12})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{5 π}{12}$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

ステップ 2.2

角の和の公式を当てはめます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 2.3

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 2.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 2.5

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 2.6

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.7

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.7.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.7.1.2

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.2.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

ステップ 2.7.1.2.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

ステップ 2.7.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

ステップ 2.7.1.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

ステップ 2.7.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

ステップ 3

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{8}$

ステップ 4

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{2} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{6}}{8}$

ステップ 5

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{6}}{8}$

ステップ 6

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2} + \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 6}}{8}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2} + \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 6}}{8}$

10進法形式：

$0.93301270 \dots$

三角関数 例

三角関数例