三角関数例

\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))

$\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))$

ステップ 1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 1.1

交点

(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})

$(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})$ 、

(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, 0)

$(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、

\arcsin (\frac{2}{x})

$\arcsin (\frac{2}{x})$ は正のx軸と、原点から始まって

(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})

$(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})$ を通る半直線の間の角です。したがって、

\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))

$\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))$ は

\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}

$\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}$ です。

\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}

$\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}$

ステップ 1.2

1

$1$ を

1^{2}

$1^{2}$ に書き換えます。

\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}$

\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}$

ステップ 2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、

a = 1

$a = 1$ であり、

b = \frac{2}{x}

$b = \frac{2}{x}$ です。

\sqrt{(1 + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}

$\sqrt{(1 + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}

$\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}$

ステップ 3.2

公分母の分子をまとめます。

\sqrt{\frac{x + 2}{x} (1 - \frac{2}{x})}

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} (1 - \frac{2}{x})}$

ステップ 3.3

1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

\sqrt{\frac{x + 2}{x} (\frac{x}{x} - \frac{2}{x})}

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} (\frac{x}{x} - \frac{2}{x})}$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

\sqrt{\frac{x + 2}{x} \cdot \frac{x - 2}{x}}

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} \cdot \frac{x - 2}{x}}$

ステップ 3.5

\frac{x + 2}{x}

$\frac{x + 2}{x}$ に

\frac{x - 2}{x}

$\frac{x - 2}{x}$ をかけます。

\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x \cdot x}}

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x \cdot x}}$

ステップ 3.6

x

$x$ に

x

$x$ をかけます。

\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}$

\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}$

ステップ 4

\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}$ を

{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))

${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ に書き換えます。

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ステップ 4.1

(x + 2) (x - 2)

$(x + 2) (x - 2)$ から完全累乗

1^{2}

$1^{2}$ を因数分解します。

\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2}}}

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2}}}$

ステップ 4.2

x^{2}

$x^{2}$ から完全累乗

x^{2}

$x^{2}$ を因数分解します。

\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}}

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}}$

ステップ 4.3

分数

\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}

$\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

ステップ 5

累乗根の下から項を取り出します。

\frac{1}{x} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}

$\frac{1}{x} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 6

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ と

\sqrt{(x + 2) (x - 2)}

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ をまとめます。

\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{x}

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{x}$

三角関数 例

三角関数例