三角関数例

$\cos (105) \cos (75)$

ステップ 1

$\cos (105)$ の厳密値は $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \cos (75) \cos (75)$

ステップ 1.2

$75$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$- \cos (30 + 45) \cos (75)$

ステップ 1.3

角の和の公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

ステップ 1.4

$\cos (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

ステップ 1.5

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

ステップ 1.6

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) \cos (75)$

ステップ 1.7

$\sin (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

ステップ 1.8

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

ステップ 1.8.1.1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

ステップ 1.8.1.1.3

$3$ に $2$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

ステップ 1.8.1.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

ステップ 1.8.1.2

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.2.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (75)$

ステップ 1.8.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (75)$

ステップ 1.8.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (75)$

ステップ 2

$\cos (75)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ です。

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ステップ 2.1

$75$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (30 + 45)$

ステップ 2.2

角の和の公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45))$

ステップ 2.3

$\cos (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45))$

ステップ 2.4

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45))$

ステップ 2.5

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45))$

ステップ 2.6

$\sin (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.7

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.7.1.1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.7.1.1.3

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.7.1.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.7.1.2

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.7.1.2.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

ステップ 2.7.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

ステップ 2.7.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ に $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ をかけます。

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

ステップ 3.2

$\sqrt{6} - \sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

ステップ 3.3

$\sqrt{6} - \sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1}}{4 \cdot 4}$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

ステップ 3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 3.6

$4$ に $4$ をかけます。

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

ステップ 4

${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ を $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ に書き換えます。

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

ステップ 5

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6.1.2

$6$ に $6$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6.1.3

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6.1.5

$\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ を掛けます。

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ステップ 6.1.5.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6.1.5.2

$6$ に $2$ をかけます。

$- \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6.1.6

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.6.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$- \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6.1.6.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6.1.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6.1.9

$- \sqrt{2} \sqrt{6}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.9.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6.1.9.2

$6$ に $2$ をかけます。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6.1.10

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.10.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6.1.10.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6.1.11

累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6.1.12

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

ステップ 6.1.13

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ を掛けます。

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ステップ 6.1.13.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

ステップ 6.1.13.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

ステップ 6.1.13.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

ステップ 6.1.13.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

ステップ 6.1.13.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

ステップ 6.1.13.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

ステップ 6.1.14

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.14.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

ステップ 6.1.14.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

ステップ 6.1.14.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

ステップ 6.1.14.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.14.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

ステップ 6.1.14.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

ステップ 6.1.14.5

指数を求めます。

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

ステップ 6.2

$6$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

ステップ 6.3

$- 2 \sqrt{3}$ から $2 \sqrt{3}$ を引きます。

$- \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

ステップ 7

$8 - 4 \sqrt{3}$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$- \frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

ステップ 7.2

$4$ を $- 4 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$- \frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

ステップ 7.3

$4$ を $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ で因数分解します。

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

ステップ 7.4

共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

ステップ 7.4.2

共通因数を約分します。

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

ステップ 7.4.3

式を書き換えます。

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

10進法形式：

$- 0.06698729 \dots$

三角関数 例

三角関数例