三角関数例

$z^{3} + 8 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$z^{3} = - 8$

ステップ 2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$z^{3} + 8 = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$z^{3} + 2^{3} = 0$

ステップ 3.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = z$ であり、 $b = 2$ です。

$(z + 2) (z^{2} - z \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 2^{2}) = 0$

ステップ 3.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$z + 2 = 0$

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

ステップ 5

$z + 2$ を $0$ に等しくし、 $z$ を解きます。

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ステップ 5.1

$z + 2$ が $0$ に等しいとします。

$z + 2 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$z = - 2$

ステップ 6

$z^{2} - 2 z + 4$ を $0$ に等しくし、 $z$ を解きます。

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ステップ 6.1

$z^{2} - 2 z + 4$ が $0$ に等しいとします。

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

ステップ 6.2

$z$ について $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $z$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3

簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 6.2.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$z = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$z = 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$z = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 7

最終解は $(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$z = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

三角関数 例

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