三角関数例

$\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$

ステップ 1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{\cos (x)}}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

ステップ 2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\cos (x)}$ を ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\cos^{1} (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$\cos (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ を $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ に書き換えます。

$\cos (x) = (2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$

ステップ 2.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x) - 1) - 1 (2 \cos (x) - 1)$

ステップ 2.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x) - 1)$

ステップ 2.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.1

$2 \cos (x) (2 \cos (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\cos (x) = 4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.1.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (x) = 4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.3.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) + 1$

ステップ 2.3.1.3.2

$- 2 \cos (x)$ から $2 \cos (x)$ を引きます。

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式の両辺から $4 \cos^{2} (x)$ を引きます。

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) = - 4 \cos (x) + 1$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺に $4 \cos (x)$ を足します。

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) = 1$

ステップ 3.1.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 3.2

$\cos (x)$ と $4 \cos (x)$ をたし算します。

$5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 3.3

$5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1$ を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$u = \cos (x)$ とします。 $u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$5 u - 4 u^{2} - 1 = 0$

ステップ 3.3.2

群による因数分解。

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ステップ 3.3.2.1

項を並べ替えます。

$- 4 u^{2} + 5 u - 1 = 0$

ステップ 3.3.2.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ で和が $b = 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.3.2.2.1

$5$ を $5 u$ で因数分解します。

$- 4 u^{2} + 5 (u) - 1 = 0$

ステップ 3.3.2.2.2

$5$ を $1$ プラス $4$ に書き換える

$- 4 u^{2} + (1 + 4) u - 1 = 0$

ステップ 3.3.2.2.3

分配則を当てはめます。

$- 4 u^{2} + 1 u + 4 u - 1 = 0$

ステップ 3.3.2.2.4

$u$ に $1$ をかけます。

$- 4 u^{2} + u + 4 u - 1 = 0$

ステップ 3.3.2.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.3.2.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(- 4 u^{2} + u) + 4 u - 1 = 0$

ステップ 3.3.2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (- 4 u + 1) - (- 4 u + 1) = 0$

ステップ 3.3.2.4

最大公約数 $- 4 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(- 4 u + 1) (u - 1) = 0$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 3.5

$- 4 \cos (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- 4 \cos (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $- 4 \cos (x) + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 4 \cos (x) = - 1$

ステップ 3.5.2.2

$- 4 \cos (x) = - 1$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$- 4 \cos (x) = - 1$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 3.5.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 3.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

ステップ 3.5.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

ステップ 3.5.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{4})$ の値を求めます。

$x = 1.31811607$

ステップ 3.5.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

ステップ 3.5.2.6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.6.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

ステップ 3.5.2.6.2

$2 (3.14159265) - 1.31811607$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.6.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

ステップ 3.5.2.6.2.2

$6.2831853$ から $1.31811607$ を引きます。

$x = 4.96506923$

ステップ 3.5.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.5.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.5.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.6

$\cos (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$\cos (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 3.6.2

$x$ について $\cos (x) - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\cos (x) = 1$

ステップ 3.6.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 3.6.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.3.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.6.2.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 3.6.2.5

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 3.6.2.6

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.6.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.6.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.6.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.6.2.7

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.7

最終解は $(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$2 π + 2 π n$ と $2 π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$ が真にならない解を除外します。

$x = 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例