三角関数例

$\sqrt{3} \cdot \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $\cos^{2} (x)$ を $1 - \sin^{2} (x)$ で置き換えます。

$\sqrt{3} (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 3

多項式を並べ替えます。

$\sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$

ステップ 4

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$\sqrt{3} (- {(u)}^{2}) - 2 u + \sqrt{3} = 0$

ステップ 5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6

$a = - \sqrt{3}$ 、 $b = - 2$ 、および $c = \sqrt{3}$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7.1.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7.1.3

$4 \sqrt{3} \sqrt{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7.1.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7.1.4.4.2

式を書き換えます。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7.1.4.5

指数を求めます。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7.1.5

$4$ に $3$ をかけます。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7.1.6

$4$ と $12$ をたし算します。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{2 \pm 4}{2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 7.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$

ステップ 7.3

$\frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$ を簡約します。

$u = \frac{1 \pm 2}{- \sqrt{3}}$

ステップ 7.4

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$

ステップ 7.5

$\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$u = - (\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 7.6

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 7.6.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 7.6.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 7.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 7.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 7.6.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.6.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 7.6.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.6.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.6.4.1

共通因数を約分します。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.6.6.4.2

式を書き換えます。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

ステップ 7.6.6.5

指数を求めます。

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

ステップ 7.7

$- \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$ の因数を並べ替えます。

$u = - \frac{\sqrt{3} (1 \pm 2)}{3}$

ステップ 8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 9

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 10

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = - \sqrt{3}$

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 11

$\sin (x) = - \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- \sqrt{3}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 12

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 12.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$ の値を求めます。

$x = 0.6154797$

ステップ 12.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

ステップ 12.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 0.6154797$

ステップ 12.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

ステップ 12.4.3

$3.14159265$ から $0.6154797$ を引きます。

$x = 2.52611294$

ステップ 12.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 12.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 12.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 12.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 12.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

すべての解をまとめます。

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例