三角関数例

$8^{2 x} + 8^{x} - 42 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$8^{2 x}$ を ${(8^{x})}^{2}$ に書き換えます。

${(8^{x})}^{2} + 8^{x} - 42 = 0$

ステップ 1.2

$u = 8^{x}$ とします。 $u$ を $8^{x}$ に代入します。

$u^{2} + u - 42 = 0$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して $u^{2} + u - 42$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 42$ で、その和が $1$ です。

$- 6, 7$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 6) (u + 7) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を $8^{x}$ で置き換えます。

$(8^{x} - 6) (8^{x} + 7) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$8^{x} - 6 = 0$

$8^{x} + 7 = 0$

ステップ 3

$8^{x} - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$8^{x} - 6$ が $0$ に等しいとします。

$8^{x} - 6 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $8^{x} - 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$8^{x} = 6$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (8^{x}) = \ln (6)$

ステップ 3.2.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (8^{x})$ を展開します。

$x \ln (8) = \ln (6)$

ステップ 3.2.4

$x \ln (8) = \ln (6)$ の各項を $\ln (8)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$x \ln (8) = \ln (6)$ の各項を $\ln (8)$ で割ります。

$\frac{x \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (6)}{\ln (8)}$

ステップ 3.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.2.1

$\ln (8)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (6)}{\ln (8)}$

ステップ 3.2.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (8)}$

ステップ 4

$8^{x} + 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$8^{x} + 7$ が $0$ に等しいとします。

$8^{x} + 7 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $8^{x} + 7 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$8^{x} = - 7$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (8^{x}) = \ln (- 7)$

ステップ 4.2.3

$\ln (- 7)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 4.2.4

$8^{x} = - 7$ の解はありません

解がありません

ステップ 5

最終解は $(8^{x} - 6) (8^{x} + 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (8)}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (8)}$

10進法形式：

$x = 0.86165416 \dots$

三角関数 例

三角関数例