三角関数例

$\sin (2 x) = \cos (2 x) + 1$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $\cos (2 x)$ を引きます。

$\sin (2 x) - \cos (2 x) = 1$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sin (2 x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

ステップ 2.1.1.2

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$2 \sin (x) \cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

ステップ 2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

ステップ 2.1.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

ステップ 2.1.1.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 2.1.2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$- 1$ から $1$ を引きます。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 2.1.2.2

$- 2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 2.1.2.3

$- 2$ を $2 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.1.2.4

$- 2$ を $- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 3

$2 \cos (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$2 \cos (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 3.2

$2 \cos (x)$ を $- 2 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x)) = 0$

ステップ 3.3

$2 \cos (x)$ を $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x))$ で因数分解します。

$2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

ステップ 5

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 5.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 5.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 5.2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\sin (x) - \cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\sin (x) - \cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\sin (x) - \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

共通因数を約分します。

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.3.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.4

分数を分解します。

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 6.2.6

$0$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

ステップ 6.2.7

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$\tan (x) - 1 = 0$

ステップ 6.2.8

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\tan (x) = 1$

ステップ 6.2.9

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 6.2.10

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.10.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.11

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.12

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.12.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.12.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.12.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.12.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 6.2.12.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.12.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 6.2.12.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 6.2.13

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.2.13.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 6.2.13.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.13.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 6.2.13.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 6.2.14

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

答えをまとめます。

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ステップ 8.1

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ と $\frac{π}{2} + π n$ を $\frac{π}{2} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.2

$\frac{5 π}{4} + π n$ と $\frac{π}{4} + π n$ を $\frac{π}{4} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例