三角関数例

$3 \tan^{3} (x) - 3 \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 = 0$

ステップ 1

$3 \tan^{3} (x) - 3 \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$3 \tan^{3} (x) - 3 \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 = 0$

ステップ 1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$3 \tan^{2} (x) (\tan (x) - 1) - (\tan (x) - 1) = 0$

ステップ 1.2

最大公約数 $\tan (x) - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(\tan (x) - 1) (3 \tan^{2} (x) - 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (x) - 1 = 0$

$3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 3

$\tan (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\tan (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) - 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $\tan (x) - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\tan (x) = 1$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 3.2.4

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 3.2.5

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 3.2.5.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 3.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 3.2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 3.2.5.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 3.2.6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 3.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 3.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.2.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$3 \tan^{2} (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$3 \tan^{2} (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 \tan^{2} (x) = 1$

ステップ 4.2.2

$3 \tan^{2} (x) = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$3 \tan^{2} (x) = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$\tan^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan^{2} (x) = \frac{1}{3}$

ステップ 4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.2.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.2.4.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.2.4.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.2.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.2.4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.2.4.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 4.2.4.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 4.2.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.2.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 4.2.4.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.2.4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.2.4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.2.4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 4.2.4.4.6.5

指数を求めます。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.2.6

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.2.7

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 4.2.7.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 4.2.7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.2.1

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 4.2.7.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{6}$

ステップ 4.2.7.4

$π + \frac{π}{6}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

ステップ 4.2.7.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.4.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

ステップ 4.2.7.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

ステップ 4.2.7.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.4.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

ステップ 4.2.7.4.3.2

$6 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 4.2.7.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.2.7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 4.2.7.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 4.2.7.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.2.8

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 4.2.8.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.2.1

$\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 4.2.8.3

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{6} - π$

ステップ 4.2.8.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 4.2.8.4.1

$2 π$ に $- \frac{π}{6} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

ステップ 4.2.8.4.2

$\frac{5 π}{6}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{6} - π$ と隣接します。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 4.2.8.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.2.8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 4.2.8.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 4.2.8.6

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.6.1

$π$ を $- \frac{π}{6}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{6} + π$

ステップ 4.2.8.6.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 4.2.8.6.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.6.3.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 4.2.8.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 4.2.8.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.6.4.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 4.2.8.6.4.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{5 π}{6}$

ステップ 4.2.8.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 4.2.8.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.2.9

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.2.10

解をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.10.1

$\frac{7 π}{6} + π n$ と $\frac{π}{6} + π n$ を $\frac{π}{6} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.2.10.2

$\frac{5 π}{6} + π n$ と $\frac{5 π}{6} + π n$ を $\frac{5 π}{6} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $(\tan (x) - 1) (3 \tan^{2} (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\frac{5 π}{4} + π n$ と $\frac{π}{4} + π n$ を $\frac{π}{4} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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