三角関数例

$2 \cos (2 x) + 7 \sin (x) = 5$

ステップ 1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$2 \cos (2 x) + 7 \sin (x) - 5 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 7 \sin (x) - 5 = 0$

ステップ 2.1.2

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) + 7 \sin (x) - 5 = 0$

ステップ 2.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) + 7 \sin (x) - 5 = 0$

ステップ 2.1.4

$- 2$ に $2$ をかけます。

$2 - 4 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) - 5 = 0$

ステップ 2.2

$2$ から $5$ を引きます。

$- 3 - 4 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) = 0$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

項を並べ替えます。

$- 4 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) - 3 = 0$

ステップ 3.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 4 \cdot - 3 = 12$ で和が $b = 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.2.1

$7$ を $7 \sin (x)$ で因数分解します。

$- 4 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) - 3 = 0$

ステップ 3.2.2

$7$ を $3$ プラス $4$ に書き換える

$- 4 \sin^{2} (x) + (3 + 4) \sin (x) - 3 = 0$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$- 4 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 4 \sin (x) - 3 = 0$

ステップ 3.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- 4 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 4 \sin (x) - 3 = 0$

ステップ 3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\sin (x) (- 4 \sin (x) + 3) - (- 4 \sin (x) + 3) = 0$

ステップ 3.4

最大公約数 $- 4 \sin (x) + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(- 4 \sin (x) + 3) (\sin (x) - 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- 4 \sin (x) + 3 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

ステップ 5

$- 4 \sin (x) + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$- 4 \sin (x) + 3$ が $0$ に等しいとします。

$- 4 \sin (x) + 3 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $- 4 \sin (x) + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- 4 \sin (x) = - 3$

ステップ 5.2.2

$- 4 \sin (x) = - 3$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 4 \sin (x) = - 3$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 3}{- 4}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin (x) = \frac{3}{4}$

ステップ 5.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{3}{4})$

ステップ 5.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$\arcsin (\frac{3}{4})$ の値を求めます。

$x = 0.84806207$

ステップ 5.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 0.84806207$

ステップ 5.2.6

$x$ について解きます。

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ステップ 5.2.6.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 0.84806207$

ステップ 5.2.6.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 0.84806207$

ステップ 5.2.6.3

$3.14159265$ から $0.84806207$ を引きます。

$x = 2.29353057$

ステップ 5.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.84806207 + 2 π n, 2.29353057 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\sin (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\sin (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) - 1 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\sin (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\sin (x) = 1$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (1)$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.5

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.5.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.5.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.5.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.2.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.5.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 6.2.5.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.6

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $(- 4 \sin (x) + 3) (\sin (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0.84806207 + 2 π n, 2.29353057 + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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