三角関数例

$6 \cos (x) + 6 \sin (x) = 3 \sqrt{6}$

ステップ 1

方程式の両辺を2乗します。

${(6 \cos (x) + 6 \sin (x))}^{2} = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2

${(6 \cos (x) + 6 \sin (x))}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(6 \cos (x) + 6 \sin (x))}^{2}$ を $(6 \cos (x) + 6 \sin (x)) (6 \cos (x) + 6 \sin (x))$ に書き換えます。

$(6 \cos (x) + 6 \sin (x)) (6 \cos (x) + 6 \sin (x)) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(6 \cos (x) + 6 \sin (x)) (6 \cos (x) + 6 \sin (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$6 \cos (x) (6 \cos (x) + 6 \sin (x)) + 6 \sin (x) (6 \cos (x) + 6 \sin (x)) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$6 \cos (x) (6 \cos (x)) + 6 \cos (x) (6 \sin (x)) + 6 \sin (x) (6 \cos (x) + 6 \sin (x)) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$6 \cos (x) (6 \cos (x)) + 6 \cos (x) (6 \sin (x)) + 6 \sin (x) (6 \cos (x)) + 6 \sin (x) (6 \sin (x)) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$6 \cos (x) (6 \cos (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$6$ に $6$ をかけます。

$36 \cos (x) \cos (x) + 6 \cos (x) (6 \sin (x)) + 6 \sin (x) (6 \cos (x)) + 6 \sin (x) (6 \sin (x)) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.3.1.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$36 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 6 \cos (x) (6 \sin (x)) + 6 \sin (x) (6 \cos (x)) + 6 \sin (x) (6 \sin (x)) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.3.1.1.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$36 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 6 \cos (x) (6 \sin (x)) + 6 \sin (x) (6 \cos (x)) + 6 \sin (x) (6 \sin (x)) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.3.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$36 {\cos (x)}^{1 + 1} + 6 \cos (x) (6 \sin (x)) + 6 \sin (x) (6 \cos (x)) + 6 \sin (x) (6 \sin (x)) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.3.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$36 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) (6 \sin (x)) + 6 \sin (x) (6 \cos (x)) + 6 \sin (x) (6 \sin (x)) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.3.1.2

$6$ に $6$ をかけます。

$36 \cos^{2} (x) + 36 \cos (x) \sin (x) + 6 \sin (x) (6 \cos (x)) + 6 \sin (x) (6 \sin (x)) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.3.1.3

$6$ に $6$ をかけます。

$36 \cos^{2} (x) + 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin (x) \cos (x) + 6 \sin (x) (6 \sin (x)) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.3.1.4

$6 \sin (x) (6 \sin (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.4.1

$6$ に $6$ をかけます。

$36 \cos^{2} (x) + 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin (x) \cos (x) + 36 \sin (x) \sin (x) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.3.1.4.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$36 \cos^{2} (x) + 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin (x) \cos (x) + 36 (\sin^{1} (x) \sin (x)) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.3.1.4.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$36 \cos^{2} (x) + 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin (x) \cos (x) + 36 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.3.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$36 \cos^{2} (x) + 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin (x) \cos (x) + 36 {\sin (x)}^{1 + 1} = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.3.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$36 \cos^{2} (x) + 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin (x) \cos (x) + 36 \sin^{2} (x) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.3.2

$36 \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$36 \cos^{2} (x) + 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.3.3

$36 \cos (x) \sin (x)$ と $36 \cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$36 \cos^{2} (x) + 72 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.4

$36 \sin^{2} (x)$ を移動させます。

$36 \cos^{2} (x) + 36 \sin^{2} (x) + 72 \cos (x) \sin (x) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.5

$36$ を $36 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$36 (\cos^{2} (x)) + 36 \sin^{2} (x) + 72 \cos (x) \sin (x) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.6

$36$ を $36 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$36 (\cos^{2} (x)) + 36 (\sin^{2} (x)) + 72 \cos (x) \sin (x) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.7

$36$ を $36 (\cos^{2} (x)) + 36 (\sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$36 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 72 \cos (x) \sin (x) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.8

項を並べ替えます。

$36 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 72 \cos (x) \sin (x) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.9

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$36 \cdot 1 + 72 \cos (x) \sin (x) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 2.10

$36$ に $1$ をかけます。

$36 + 72 \cos (x) \sin (x) = {(3 \sqrt{6})}^{2}$

ステップ 3

${(3 \sqrt{6})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

積の法則を $3 \sqrt{6}$ に当てはめます。

$36 + 72 \cos (x) \sin (x) = 3^{2} {\sqrt{6}}^{2}$

ステップ 3.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$36 + 72 \cos (x) \sin (x) = 9 {\sqrt{6}}^{2}$

ステップ 3.2

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$36 + 72 \cos (x) \sin (x) = 9 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$36 + 72 \cos (x) \sin (x) = 9 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$36 + 72 \cos (x) \sin (x) = 9 \cdot 6^{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

共通因数を約分します。

$36 + 72 \cos (x) \sin (x) = 9 \cdot 6^{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.2.4.2

式を書き換えます。

$36 + 72 \cos (x) \sin (x) = 9 \cdot 6^{1}$

ステップ 3.2.5

指数を求めます。

$36 + 72 \cos (x) \sin (x) = 9 \cdot 6$

ステップ 3.3

$9$ に $6$ をかけます。

$36 + 72 \cos (x) \sin (x) = 54$

ステップ 4

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式の両辺から $36$ を引きます。

$72 \cos (x) \sin (x) = 54 - 36$

ステップ 4.2

$54$ から $36$ を引きます。

$72 \cos (x) \sin (x) = 18$

ステップ 5

$72 \cos (x) \sin (x) = 18$ の各項に $\frac{1}{36}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.1

$72 \cos (x) \sin (x) = 18$ の各項に $\frac{1}{36}$ を掛けます。

$72 \cos (x) \sin (x) \frac{1}{36} = 18 (\frac{1}{36})$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$36$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$36$ を $72 \cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$36 (2 \cos (x) \sin (x)) \frac{1}{36} = 18 (\frac{1}{36})$

ステップ 5.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$36 (2 \cos (x) \sin (x)) \frac{1}{36} = 18 (\frac{1}{36})$

ステップ 5.2.1.1.3

式を書き換えます。

$2 \cos (x) \sin (x) = 18 (\frac{1}{36})$

ステップ 5.2.1.2

交換して簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\sin (x) (2 \cos (x)) = 18 (\frac{1}{36})$

ステップ 5.2.1.2.2

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) = 18 (\frac{1}{36})$

ステップ 5.2.2

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 x) = 18 (\frac{1}{36})$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$18$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$18$ を $36$ で因数分解します。

$\sin (2 x) = 18 \frac{1}{18 (2)}$

ステップ 5.3.1.2

共通因数を約分します。

$\sin (2 x) = 18 \frac{1}{18 \cdot 2}$

ステップ 5.3.1.3

式を書き換えます。

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

ステップ 6

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 7

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$2 x = \frac{π}{6}$

ステップ 8

$2 x = \frac{π}{6}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$2 x = \frac{π}{6}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

ステップ 8.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 8.3.2

$\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$\frac{π}{6}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

ステップ 8.3.2.2

$6$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{12}$

ステップ 9

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$2 x = π - \frac{π}{6}$

ステップ 10

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 10.1.2

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 10.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 10.1.4

$π \cdot 6$ から $π$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.4.1

$π$ と $6$ を並べ替えます。

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 10.1.4.2

$6 \cdot π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

ステップ 10.2

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

ステップ 10.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

ステップ 10.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

ステップ 10.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 10.2.3.2

$\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.2.1

$\frac{5 π}{6}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

ステップ 10.2.3.2.2

$6$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{12}$

ステップ 11

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 11.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 11.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 11.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 11.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 11.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 12

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

$6 \cos (x) + 6 \sin (x) = 3 \sqrt{6}$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{π}{12} + 2 π n, \frac{5 π}{12} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例