三角関数例

$\frac{3 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$u = \cos (x)$ とします。 $u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$\frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

ステップ 1.2

群による因数分解。

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ステップ 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ で和が $b = 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.1.1

$4$ を $4 u$ で因数分解します。

$\frac{3 u^{2} + 4 (u) + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

ステップ 1.2.1.2

$4$ を $1$ プラス $3$ に書き換える

$\frac{3 u^{2} + (1 + 3) u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

ステップ 1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 u^{2} + 1 u + 3 u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

ステップ 1.2.1.4

$u$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 u^{2} + u + 3 u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

ステップ 1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(3 u^{2} + u) + 3 u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

ステップ 1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{u (3 u + 1) + 1 (3 u + 1)}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

ステップ 1.2.3

最大公約数 $3 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(3 u + 1) (u + 1)}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

$u = \cos (x)$ とします。 $u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{u^{2} + 2 u + 1}$

ステップ 2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

ステップ 2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

ステップ 2.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

ステップ 2.2.4

$a = u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{{(u + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{{(\cos (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 3

$\cos (x) + 1$ と ${(\cos (x) + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

$\cos (x) + 1$ を $(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)$ で因数分解します。

$\frac{(\cos (x) + 1) (3 \cos (x) + 1)}{{(\cos (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$\cos (x) + 1$ を ${(\cos (x) + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(\cos (x) + 1) (3 \cos (x) + 1)}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(\cos (x) + 1) (3 \cos (x) + 1)}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 \cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

三角関数 例

三角関数例