三角関数例

${(1 - i)}^{8}$

ステップ 1

二項定理を利用します。

$1^{8} + 8 \cdot 1^{7} (- i) + 28 \cdot 1^{6} {(- i)}^{2} + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 8 \cdot 1^{7} (- i) + 28 \cdot 1^{6} {(- i)}^{2} + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 8 \cdot 1 (- i) + 28 \cdot 1^{6} {(- i)}^{2} + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.3

$8$ に $1$ をかけます。

$1 + 8 (- i) + 28 \cdot 1^{6} {(- i)}^{2} + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.4

$- 1$ に $8$ をかけます。

$1 - 8 i + 28 \cdot 1^{6} {(- i)}^{2} + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 8 i + 28 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.6

$28$ に $1$ をかけます。

$1 - 8 i + 28 {(- i)}^{2} + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.7

積の法則を $- i$ に当てはめます。

$1 - 8 i + 28 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 - 8 i + 28 (1 i^{2}) + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.9

$i^{2}$ に $1$ をかけます。

$1 - 8 i + 28 i^{2} + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.10

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 - 8 i + 28 \cdot - 1 + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.11

$28$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 \cdot 1^{5} {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.12

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 8 i - 28 + 56 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.13

$56$ に $1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 {(- i)}^{3} + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.14

積の法則を $- i$ に当てはめます。

$1 - 8 i - 28 + 56 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.15

$- 1$ を $3$ 乗します。

$1 - 8 i - 28 + 56 (- i^{3}) + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.16

$i^{2}$ を因数分解します。

$1 - 8 i - 28 + 56 (- (i^{2} \cdot i)) + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.17

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 - 8 i - 28 + 56 (- (- 1 \cdot i)) + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.18

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$1 - 8 i - 28 + 56 (- - i) + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.19

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 (1 i) + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.20

$i$ に $1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 \cdot 1^{4} {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.21

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 \cdot 1 {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.22

$70$ に $1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 {(- i)}^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.23

積の法則を $- i$ に当てはめます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.24

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 (1 i^{4}) + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.25

$i^{4}$ に $1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 i^{4} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.26

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.26.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 {(i^{2})}^{2} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.26.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 {(- 1)}^{2} + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.26.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 \cdot 1 + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.27

$70$ に $1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 \cdot 1^{3} {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.28

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 \cdot 1 {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.29

$56$ に $1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 {(- i)}^{5} + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.30

積の法則を $- i$ に当てはめます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 ({(- 1)}^{5} i^{5}) + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.31

$- 1$ を $5$ 乗します。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 (- i^{5}) + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.32

$i^{4}$ を因数分解します。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 (- (i^{4} i)) + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.33

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.33.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 (- ({(i^{2})}^{2} i)) + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.33.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 (- ({(- 1)}^{2} i)) + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.33.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 (- (1 i)) + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.34

$i$ に $1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 + 56 (- i) + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.35

$- 1$ に $56$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 \cdot 1^{2} {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.36

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 \cdot 1 {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.37

$28$ に $1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 {(- i)}^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.38

積の法則を $- i$ に当てはめます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 ({(- 1)}^{6} i^{6}) + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.39

$- 1$ を $6$ 乗します。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 (1 i^{6}) + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.40

$i^{6}$ に $1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 i^{6} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.41

$i^{4}$ を因数分解します。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 (i^{4} i^{2}) + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.42

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.42.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 ({(i^{2})}^{2} i^{2}) + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.42.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.42.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 (1 i^{2}) + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.43

$i^{2}$ に $1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 i^{2} + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.44

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i + 28 \cdot - 1 + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.45

$28$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 \cdot 1 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.46

$8$ に $1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 {(- i)}^{7} + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.47

積の法則を $- i$ に当てはめます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 ({(- 1)}^{7} i^{7}) + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.48

$- 1$ を $7$ 乗します。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- i^{7}) + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.49

$i^{7}$ を $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.49.1

$i^{4}$ を因数分解します。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- (i^{4} i^{3})) + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.49.2

$i^{2}$ を因数分解します。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- (i^{4} (i^{2} \cdot i))) + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.50

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.50.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i))) + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.50.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i))) + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.50.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- (1 (i^{2} \cdot i))) + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.51

$i^{2} \cdot i$ に $1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- (i^{2} \cdot i)) + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.52

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- (- 1 \cdot i)) + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.53

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (- - i) + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.54

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 (1 i) + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.55

$i$ に $1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + {(- i)}^{8}$

ステップ 2.1.56

積の法則を $- i$ に当てはめます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + {(- 1)}^{8} i^{8}$

ステップ 2.1.57

$- 1$ を $8$ 乗します。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + 1 i^{8}$

ステップ 2.1.58

$i^{8}$ に $1$ をかけます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + i^{8}$

ステップ 2.1.59

$i^{8}$ を ${(i^{4})}^{2}$ に書き換えます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + {(i^{4})}^{2}$

ステップ 2.1.60

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.60.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + {({(i^{2})}^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.60.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + {({(- 1)}^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.60.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + 1^{2}$

ステップ 2.1.61

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 8 i - 28 + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + 1$

ステップ 2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$1$ から $28$ を引きます。

$- 27 - 8 i + 56 i + 70 - 56 i - 28 + 8 i + 1$

ステップ 2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- 27$ と $70$ をたし算します。

$43 - 8 i + 56 i - 56 i - 28 + 8 i + 1$

ステップ 2.2.2.2

$43$ から $28$ を引きます。

$15 - 8 i + 56 i - 56 i + 8 i + 1$

ステップ 2.2.2.3

$15$ と $1$ をたし算します。

$16 - 8 i + 56 i - 56 i + 8 i$

ステップ 2.2.3

$- 8 i$ と $56 i$ をたし算します。

$16 + 48 i - 56 i + 8 i$

ステップ 2.2.4

$48 i$ から $56 i$ を引きます。

$16 - 8 i + 8 i$

ステップ 2.2.5

$- 8 i$ と $8 i$ をたし算します。

$16 + 0$

ステップ 2.2.6

$16$ と $0$ をたし算します。

$16$

三角関数 例

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