三角関数例

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$\sec^{4} (x)$ を ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

ステップ 1.2

$\tan^{4} (x)$ を ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2}}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

ステップ 1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \sec^{2} (x)$ であり、 $b = \tan^{2} (x)$ です。

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

ステップ 1.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \sec (x)$ であり、 $b = \tan (x)$ です。

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

ステップ 2

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

ステップ 2.2

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ を $1$ で割ります。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

ステップ 3

分配法則（FOIL法）を使って $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.1.1

$\sec (x) (- \tan (x))$ と $\tan (x) \sec (x)$ について因数を並べ替えます。

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

ステップ 4.1.2

$- \sec (x) \tan (x)$ と $\sec (x) \tan (x)$ をたし算します。

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x))$

ステップ 4.1.3

$\sec (x) \sec (x)$ と $0$ をたし算します。

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\sec (x) \sec (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

ステップ 4.2.1.2

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

ステップ 4.2.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x))$

ステップ 4.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

ステップ 4.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x)$

ステップ 4.2.3

$- \tan (x) \tan (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.2.3.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x))$

ステップ 4.2.3.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

ステップ 4.2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1}$

ステップ 4.2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$1$

三角関数 例

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