三角関数例

$\frac{\sin^{2} (x) - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \sin (x)$ であり、 $b = \tan (x)$ です。

$\frac{(\sin (x) + \tan (x)) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2.2

$\sin (x)$ を $\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{(\sin (x) \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2.2.2

$\sin (x)$ を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で因数分解します。

$\frac{(\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2.2.3

$\sin (x)$ を $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2.3

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2.4

$\sin (x)$ を $\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.4.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2.4.2

$\sin (x)$ を $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)}))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2.4.3

$\sin (x)$ を $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) (1 - \frac{1}{\cos (x)}))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) \sin (x) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2.5

指数をまとめます。

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ステップ 1.2.5.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2.5.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \sin^{2} (x)}$

ステップ 2.2

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin^{2} (x)}$

ステップ 3

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ と $\sin^{2} (x)$ をまとめます。

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 4

指数を足して $\sin^{2} (x)$ に $\sin^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\frac{{\sin (x)}^{2 + 2}}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 4.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 6

$\sin^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$\sin^{2} (x)$ を $\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})$ で因数分解します。

$\sin^{2} (x) ((1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 6.2

$\sin^{2} (x)$ を $\sin^{4} (x)$ で因数分解します。

$\sin^{2} (x) ((1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 6.3

共通因数を約分します。

$\sin^{2} (x) ((1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 6.4

式を書き換えます。

$(1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 7

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})$ を展開します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$(1 (1 - \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos (x)} (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos (x)} (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 8.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$(1 + 1 (- \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8.1.2

$- \frac{1}{\cos (x)}$ に $1$ をかけます。

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8.1.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $1$ をかけます。

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8.1.5

$- \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 8.1.5.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\cos (x)}$ をかけます。

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8.1.5.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8.1.5.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8.1.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8.1.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8.2

$- \frac{1}{\cos (x)}$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をたし算します。

$(1 + 0 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$(1 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9

項を簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9.2

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9.3

$\cos^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1 \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9.4

$- 1 \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ を $- \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ に書き換えます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9.6

$\cos^{2} (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9.7

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9.8

$- 1$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9.9

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9.10

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ を $- (1 - \cos^{2} (x))$ に書き換えます。

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 10

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 11

$\sin^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 11.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

三角関数 例

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