三角関数例

$\sin (5 x) - 16 = - 17$

ステップ 1

$\sin (5 x)$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $16$ を足します。

$\sin (5 x) = - 17 + 16$

ステップ 1.2

$- 17$ と $16$ をたし算します。

$\sin (5 x) = - 1$

ステップ 2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$5 x = \arcsin (- 1)$

ステップ 3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$5 x = - \frac{π}{2}$

ステップ 4

$5 x = - \frac{π}{2}$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$5 x = - \frac{π}{2}$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{2}}{5}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{2}}{5}$

ステップ 4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{5}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 4.3.2

$- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.2.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{π}{2}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{5 \cdot 2}$

ステップ 4.3.2.2

$5$ に $2$ をかけます。

$x = - \frac{π}{10}$

ステップ 5

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$5 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 6.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$5 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 6.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$5 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 6.3

$5 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$5 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

ステップ 6.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 6.3.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 5}$

ステップ 6.3.3.2.2

$2$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{10}$

ステップ 7

$\sin (5 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $5$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 5 |}$

ステップ 7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $5$ の間の距離は $5$ です。

$\frac{2 π}{5}$

ステップ 8

$\frac{2 π}{5}$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 8.1

$\frac{2 π}{5}$ を $- \frac{π}{10}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{10} + \frac{2 π}{5}$

ステップ 8.2

$\frac{2 π}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2 π}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{10}$

ステップ 8.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $10$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.3.1

$\frac{2 π}{5}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2 π \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{π}{10}$

ステップ 8.3.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 π \cdot 2}{10} - \frac{π}{10}$

ステップ 8.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{10}$

ステップ 8.5

分子を簡約します。

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ステップ 8.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{10}$

ステップ 8.5.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{10}$

ステップ 8.6

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{10}$

ステップ 9

$\sin (5 x)$ 関数の周期が $\frac{2 π}{5}$ なので、両方向で $\frac{2 π}{5}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{10} + \frac{2 π n}{5}, \frac{3 π}{10} + \frac{2 π n}{5}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

答えをまとめます。

$x = \frac{3 π}{10} + \frac{2 π n}{5}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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