三角関数例

$\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$

ステップ 1

$\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ の各項を $\csc (\frac{x}{2})$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ の各項を $\csc (\frac{x}{2})$ で割ります。

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\csc (\frac{x}{2})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

ステップ 1.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1

正弦と余弦に関して $\csc (\frac{x}{2})$ を書き換えます。

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}}$

ステップ 1.3.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}$ で割ります。

$1 = \sin (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

ステップ 1.3.3

簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$\sin (\frac{x}{2})$ を $1$ 乗します。

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

ステップ 1.3.3.2

$\sin (\frac{x}{2})$ を $1$ 乗します。

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin^{1} (\frac{x}{2})$

ステップ 1.3.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 = {\sin (\frac{x}{2})}^{1 + 1}$

ステップ 1.3.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

ステップ 2

方程式を $\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$ として書き換えます。

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$

ステップ 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{1}$

ステップ 4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm 1$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (\frac{x}{2}) = 1, - 1$

ステップ 6

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

ステップ 7

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} = \arcsin (1)$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 7.3

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$x = π$

ステップ 7.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{2}$

ステップ 7.5

$x$ について解きます。

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ステップ 7.5.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

ステップ 7.5.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 7.5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 7.5.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.5.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

ステップ 7.5.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 (π - \frac{π}{2})$

ステップ 7.5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.5.2.2.1

$2 (π - \frac{π}{2})$ を簡約します。

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ステップ 7.5.2.2.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 7.5.2.2.1.2

項を簡約します。

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ステップ 7.5.2.2.1.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = 2 (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 7.5.2.2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 7.5.2.2.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.5.2.2.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 7.5.2.2.1.2.3.2

式を書き換えます。

$x = π \cdot 2 - π$

ステップ 7.5.2.2.1.3

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = 2 π - π$

ステップ 7.5.2.2.1.4

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 7.6

$\sin (\frac{x}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 7.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.6.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 7.6.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 7.6.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 7.6.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 7.7

$\sin (\frac{x}{2})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} = \arcsin (- 1)$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2}$

ステップ 8.3

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$x = - π$

ステップ 8.4

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 8.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 8.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 8.5.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

ステップ 8.5.3

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$x = 3 π$

ステップ 8.6

$\sin (\frac{x}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 8.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.6.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 8.6.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.6.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 8.6.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 8.7

$4 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 8.7.1

$4 π$ を $- π$ に足し、正の角を求めます。

$- π + 4 π$

ステップ 8.7.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$3 π$

ステップ 8.7.3

新しい角をリストします。

$x = 3 π$

ステップ 8.8

$\sin (\frac{x}{2})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

すべての解をまとめます。

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

答えをまとめます。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例