三角関数例

cos (2 x) = \sqrt{2} - cos (2 x)

$\cos (2 x) = \sqrt{2} - \cos (2 x)$

ステップ 1

$\cos (2 x)$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に

$\cos (2 x)$ を足します。

$\cos (2 x) + \cos (2 x) = \sqrt{2}$

ステップ 1.2

$\cos (2 x)$ と

$\cos (2 x)$ をたし算します。

$2 \cos (2 x) = \sqrt{2}$

ステップ 2

$2 \cos (2 x) = \sqrt{2}$ の各項を

$2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$2 \cos (2 x) = \sqrt{2}$ の各項を

$2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.2.1.2

$\cos (2 x)$ を

$1$ で割ります。

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から

$x$ を取り出します。

$2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は

$\frac{π}{4}$ です。

$2 x = \frac{π}{4}$

ステップ 5

$2 x = \frac{π}{4}$ の各項を

$2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$2 x = \frac{π}{4}$ の各項を

$2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

ステップ 5.2.1.2

$x$ を

$1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.2

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1

$\frac{π}{4}$ に

$\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

ステップ 5.3.2.2

$4$ に

$2$ をかけます。

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 6

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、

$2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

簡約します。

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ステップ 7.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{4}{4}$ を掛けます。

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 7.1.2

$2 π$ と

$\frac{4}{4}$ をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 7.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 7.1.4

$4$ に

$2$ をかけます。

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 7.1.5

$8 π$ から

$π$ を引きます。

$2 x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 7.2

$2 x = \frac{7 π}{4}$ の各項を

$2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2 x = \frac{7 π}{4}$ の各項を

$2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

ステップ 7.2.2.1.2

$x$ を

$1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.3.2

$\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.3.2.1

$\frac{7 π}{4}$ に

$\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

ステップ 7.2.3.2.2

$4$ に

$2$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{8}$

ステップ 8

$\cos (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.2

周期の公式の

$b$ を

$2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 8.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$2$ の間の距離は

$2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 8.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 8.4.2

$π$ を

$1$ で割ります。

$π$

ステップ 9

$\cos (2 x)$ 関数の周期が

$π$ なので、両方向で

$π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ 、任意の整数

$n$

三角関数 例

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