三角関数例

$\cos (2 x) = 3 \sin (x)$

ステップ 1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$1 - 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x)$

ステップ 2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x) - 1$

ステップ 3

方程式の両辺から $3 \sin (x)$ を引きます。

$- 2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) = - 1$

ステップ 4

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$- 2 {(u)}^{2} - 3 u = - 1$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- 2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

ステップ 4.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.4

$a = - 2$ 、 $b = - 3$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 4.5.1.2

$- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1.2.1

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 4.5.1.2.2

$8$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 4.5.1.3

$9$ と $8$ をたし算します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 4.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{- 4}$

ステップ 4.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

ステップ 4.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

ステップ 4.7

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

ステップ 4.8

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

ステップ 4.9

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 4.9.1

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 4.10

$\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 4.10.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

ステップ 4.10.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.10.2.1

$\arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ の値を求めます。

$x = 0.28460296$

ステップ 4.10.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$

ステップ 4.10.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 4.10.4.1

$2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265 - 2 π$

ステップ 4.10.4.2

$2.85698969$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ と隣接します。

$x = 2.85698969$

ステップ 4.10.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.10.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.10.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.10.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.10.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.10.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.11

すべての解をまとめます。

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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