三角関数例

$\sin^{2} (x) = 2 \cos (x) + 2$

ステップ 1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$1 - \cos^{2} (x) = 2 \cos (x) + 2$

ステップ 2

多項式を並べ替えます。

$- \cos^{2} (x) + 1 = 2 \cos (x) + 2$

ステップ 3

$u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$- {(u)}^{2} + 1 = 2 (u) + 2$

ステップ 4

方程式の両辺から $2 u$ を引きます。

$- u^{2} + 1 - 2 u = 2$

ステップ 5

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- u^{2} + 1 - 2 u - 2 = 0$

ステップ 6

$1$ から $2$ を引きます。

$- u^{2} - 2 u - 1 = 0$

ステップ 7

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 7.1

$- 1$ を $- u^{2} - 2 u - 1$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1

$- 1$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$- u^{2} - 2 u - 1 = 0$

ステップ 7.1.2

$- 1$ を $- 2 u$ で因数分解します。

$- u^{2} - (2 u) - 1 = 0$

ステップ 7.1.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- u^{2} - (2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 7.1.4

$- 1$ を $- u^{2} - (2 u)$ で因数分解します。

$- (u^{2} + 2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 7.1.5

$- 1$ を $- (u^{2} + 2 u) - 1 (1)$ で因数分解します。

$- (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

ステップ 7.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 7.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

ステップ 7.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

ステップ 7.2.3

多項式を書き換えます。

$- (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 7.2.4

$a = u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- {(u + 1)}^{2} = 0$

ステップ 8

$- {(u + 1)}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$- {(u + 1)}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- {(u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 8.2.2

${(u + 1)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

${(u + 1)}^{2} = 0$

ステップ 9

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 10

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 11

$\cos (x)$ を $u$ に代入します。

$\cos (x) = - 1$

ステップ 12

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 13

右辺を簡約します。

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ステップ 13.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 14

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 15

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 16

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 16.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 16.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 16.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 16.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 17

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例