三角関数例

$\cot^{2} (x) - 15 \cot (x) = 16$

ステップ 1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$\cot^{2} (x) - 15 \cot (x) - 16 = 0$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $\cot^{2} (x) - 15 \cot (x) - 16$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 16$ で、その和が $- 15$ です。

$- 16, 1$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(\cot (x) - 16) (\cot (x) + 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cot (x) - 16 = 0$

$\cot (x) + 1 = 0$

ステップ 4

$\cot (x) - 16$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\cot (x) - 16$ が $0$ に等しいとします。

$\cot (x) - 16 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\cot (x) - 16 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $16$ を足します。

$\cot (x) = 16$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (16)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$arccot (16)$ の値を求めます。

$x = 0.0624188$

ステップ 4.2.4

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 0.0624188$

ステップ 4.2.5

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.5.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 0.0624188$

ステップ 4.2.5.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 0.0624188$

ステップ 4.2.5.3

$3.14159265$ と $0.0624188$ をたし算します。

$x = 3.20401146$

ステップ 4.2.6

$\cot (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 4.2.7

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.0624188 + π n, 3.20401146 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\cot (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\cot (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cot (x) + 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\cot (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\cot (x) = - 1$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (- 1)$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$arccot (- 1)$ の厳密値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.2.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

ステップ 5.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 5.2.5.1

$2 π$ に $\frac{3 π}{4} - π$ をたし算します。

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

ステップ 5.2.5.2

$\frac{7 π}{4}$ の結果の角度は正で $\frac{3 π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 5.2.6

$\cot (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.2.7

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $(\cot (x) - 16) (\cot (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0.0624188 + π n, 3.20401146 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

答えをまとめます。

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ステップ 7.1

$3.20401146 + π n$ と $0.0624188 + π n$ を $0.0624188 + π n$ にまとめます。

$x = 0.0624188 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7.2

$\frac{7 π}{4} + π n$ と $\frac{3 π}{4} + π n$ を $\frac{3 π}{4} + π n$ にまとめます。

$x = 0.0624188 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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