三角関数例

$\cot^{2} (x) = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

ステップ 1

$\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $\cot^{2} (x)$ を $\csc^{2} (x) - 1$ で置き換えます。

$\csc^{2} (x) - 1 = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

ステップ 2

$u$ を $\csc (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} - 1 = - \frac{5}{2} u - 2$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

$u$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$u^{2} - 1 = - \frac{u \cdot 5}{2} - 2$

ステップ 3.2

$5$ を $u$ の左に移動させます。

$u^{2} - 1 = - \frac{5 u}{2} - 2$

ステップ 4

方程式の両辺に $\frac{5 u}{2}$ を足します。

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} = - 2$

ステップ 5

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} + 2 = 0$

ステップ 5.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$u^{2} + \frac{5 u}{2} + 1 = 0$

ステップ 6

両辺に最小公分母 $2$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

ステップ 6.2.1.2

式を書き換えます。

$2 u^{2} + 5 u + 2 \cdot 1 = 0$

ステップ 6.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 u^{2} + 5 u + 2 = 0$

ステップ 7

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 8

$a = 2$ 、 $b = 5$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 9.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.1.2.2

$- 8$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.1.3

$25$ から $16$ を引きます。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.1.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{- 5 \pm 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 5 \pm 3}{4}$

ステップ 10

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - \frac{1}{2}, - 2$

ステップ 11

$\csc (x)$ を $u$ に代入します。

$\csc (x) = - \frac{1}{2}, - 2$

ステップ 12

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

ステップ 13

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 13.1

余割の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $- \frac{1}{2}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 14

$\csc (x) = - 2$ の $x$ について解きます。

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ステップ 14.1

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $x$ を取り出します。

$x = arccsc (- 2)$

ステップ 14.2

右辺を簡約します。

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ステップ 14.2.1

$arccsc (- 2)$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 14.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 14.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 14.4.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 14.4.2

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 14.5

$\csc (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 14.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 14.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 14.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 14.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 14.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 14.6.1

$2 π$ を $- \frac{π}{6}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

ステップ 14.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 14.6.3

分数をまとめます。

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ステップ 14.6.3.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 14.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 14.6.4

分子を簡約します。

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ステップ 14.6.4.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 π - π}{6}$

ステップ 14.6.4.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{11 π}{6}$

ステップ 14.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 14.7

$\csc (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

すべての解をまとめます。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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