三角関数例

$\cot^{2} (x) - 4 \csc (x) = - 5$

ステップ 1

$\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $\cot^{2} (x)$ を $\csc^{2} (x) - 1$ で置き換えます。

$(\csc^{2} (x) - 1) - 4 \csc (x) = - 5$

ステップ 2

多項式を並べ替えます。

$\csc^{2} (x) - 4 \csc (x) - 1 = - 5$

ステップ 3

$u$ を $\csc (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} - 4 u - 1 = - 5$

ステップ 4

方程式の両辺に $5$ を足します。

$u^{2} - 4 u - 1 + 5 = 0$

ステップ 5

$- 1$ と $5$ をたし算します。

$u^{2} - 4 u + 4 = 0$

ステップ 6

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} - 4 u + 2^{2} = 0$

ステップ 6.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

ステップ 6.3

多項式を書き換えます。

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

ステップ 6.4

$a = u$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(u - 2)}^{2} = 0$

ステップ 7

$u - 2$ が $0$ に等しいとします。

$u - 2 = 0$

ステップ 8

方程式の両辺に $2$ を足します。

$u = 2$

ステップ 9

$\csc (x)$ を $u$ に代入します。

$\csc (x) = 2$

ステップ 10

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $x$ を取り出します。

$x = arccsc (2)$

ステップ 11

右辺を簡約します。

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ステップ 11.1

$arccsc (2)$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 12

余割関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{6}$

ステップ 13

$π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 13.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 13.2

分数をまとめます。

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ステップ 13.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 13.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 13.3

分子を簡約します。

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ステップ 13.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 13.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 14

$\csc (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 14.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 14.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 14.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 14.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 15

$\csc (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例