三角関数例

$\csc^{2} (x) + 3 \csc (x) + 2 = 0$

ステップ 1

たすき掛けを利用して $\csc^{2} (x) + 3 \csc (x) + 2$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $3$ です。

$1, 2$

ステップ 1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(\csc (x) + 1) (\csc (x) + 2) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\csc (x) + 1 = 0$

$\csc (x) + 2 = 0$

ステップ 3

$\csc (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\csc (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\csc (x) + 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $\csc (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\csc (x) = - 1$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $x$ を取り出します。

$x = arccsc (- 1)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$arccsc (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 3.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 3.2.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 3.2.5.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 3.2.6

$\csc (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.2.7

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 3.2.7.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 3.2.7.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.7.3

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.7.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 3.2.7.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.7.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 3.2.7.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 3.2.7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 3.2.8

$\csc (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\csc (x) + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\csc (x) + 2$ が $0$ に等しいとします。

$\csc (x) + 2 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\csc (x) + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\csc (x) = - 2$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $x$ を取り出します。

$x = arccsc (- 2)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$arccsc (- 2)$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 4.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 4.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 4.2.5.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 4.2.5.2

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 4.2.6

$\csc (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.7

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

$2 π$ を $- \frac{π}{6}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

ステップ 4.2.7.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 4.2.7.3

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.7.3.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 4.2.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 4.2.7.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.4.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 π - π}{6}$

ステップ 4.2.7.4.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{11 π}{6}$

ステップ 4.2.7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 4.2.8

$\csc (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $(\csc (x) + 1) (\csc (x) + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例