三角関数例

$1 - \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

ステップ 1

$\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $- \tan^{2} (x)$ を $- (\sec^{2} (x) - 1)$ で置き換えます。

$1 - (\sec^{2} (x) - 1) = \sec^{2} (x)$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$1 - \sec^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$

ステップ 2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 - \sec^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$

ステップ 3

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sec^{2} (x) + 2 = \sec^{2} (x)$

ステップ 4

$\sec (x)$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $\sec^{2} (x)$ を引きます。

$- \sec^{2} (x) + 2 - \sec^{2} (x) = 0$

ステップ 4.2

$- \sec^{2} (x)$ から $\sec^{2} (x)$ を引きます。

$- 2 \sec^{2} (x) + 2 = 0$

ステップ 5

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- 2 \sec^{2} (x) = - 2$

ステップ 6

$- 2 \sec^{2} (x) = - 2$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$- 2 \sec^{2} (x) = - 2$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \sec^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sec^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

ステップ 6.2.1.2

$\sec^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 2}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$- 2$ を $- 2$ で割ります。

$\sec^{2} (x) = 1$

ステップ 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{1}$

ステップ 8

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sec (x) = \pm 1$

ステップ 9

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 9.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sec (x) = 1$

ステップ 9.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sec (x) = - 1$

ステップ 9.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sec (x) = 1, - 1$

ステップ 10

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sec (x) = 1$

$\sec (x) = - 1$

ステップ 11

$\sec (x) = 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 11.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (1)$

ステップ 11.2

右辺を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$arcsec (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 11.3

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 11.4

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 11.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 11.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 11.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 11.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 11.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 11.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

$\sec (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 12.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (- 1)$

ステップ 12.2

右辺を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$arcsec (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 12.3

正割関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 12.4

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 12.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 12.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 12.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 12.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 12.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 12.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

すべての解をまとめます。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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