三角関数例

$\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $\cos (x)$ を引きます。

$\sqrt{3} \sin (x) = 1 - \cos (x)$

ステップ 2

方程式の両辺を2乗します。

${(\sqrt{3} \sin (x))}^{2} = {(1 - \cos (x))}^{2}$

ステップ 3

${(\sqrt{3} \sin (x))}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $\sqrt{3} \sin (x)$ に当てはめます。

${\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

ステップ 3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

ステップ 3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

ステップ 3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

ステップ 3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.1

共通因数を約分します。

$3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

ステップ 3.2.4.2

式を書き換えます。

$3^{1} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

ステップ 3.2.5

指数を求めます。

$3 \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

ステップ 4

${(1 - \cos (x))}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

${(1 - \cos (x))}^{2}$ を $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ に書き換えます。

$3 \sin^{2} (x) = (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$

ステップ 4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$3 \sin^{2} (x) = 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$3 \sin^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$3 \sin^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

ステップ 4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$3 \sin^{2} (x) = 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

ステップ 4.3.1.2

$- \cos (x)$ に $1$ をかけます。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

ステップ 4.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))$

ステップ 4.3.1.4

$- \cos (x) (- \cos (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)$

ステップ 4.3.1.4.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)$

ステップ 4.3.1.4.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

ステップ 4.3.1.4.4

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

ステップ 4.3.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

ステップ 4.3.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 4.3.2

$- \cos (x)$ から $\cos (x)$ を引きます。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 5

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 \sin^{2} (x) - 1 = - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $2 \cos (x)$ を足します。

$3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) = \cos^{2} (x)$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $\cos^{2} (x)$ を引きます。

$3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 6

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $3 \sin^{2} (x)$ を $3 (1 - \cos^{2} (x))$ で置き換えます。

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 7

各項を簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 7.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 7.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 8

項を加えて簡約します。

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ステップ 8.1

$3$ から $1$ を引きます。

$- 3 \cos^{2} (x) + 2 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 8.2

$- 3 \cos^{2} (x)$ から $\cos^{2} (x)$ を引きます。

$- 4 \cos^{2} (x) + 2 + 2 \cos (x) = 0$

ステップ 9

多項式を並べ替えます。

$- 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 2 = 0$

ステップ 10

$u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$- 4 {(u)}^{2} + 2 (u) + 2 = 0$

ステップ 11

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 11.1

$- 2$ を $- 4 u^{2} + 2 u + 2$ で因数分解します。

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ステップ 11.1.1

$- 2$ を $- 4 u^{2}$ で因数分解します。

$- 2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 = 0$

ステップ 11.1.2

$- 2$ を $2 u$ で因数分解します。

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) + 2 = 0$

ステップ 11.1.3

$- 2$ を $2$ で因数分解します。

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) - 2 \cdot - 1 = 0$

ステップ 11.1.4

$- 2$ を $- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u)$ で因数分解します。

$- 2 (2 u^{2} - u) - 2 \cdot - 1 = 0$

ステップ 11.1.5

$- 2$ を $- 2 (2 u^{2} - u) - 2 (- 1)$ で因数分解します。

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

ステップ 11.2

因数分解。

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ステップ 11.2.1

群による因数分解。

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ステップ 11.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 11.2.1.1.1

$- 1$ を $- u$ で因数分解します。

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

ステップ 11.2.1.1.2

$- 1$ を $1$ プラス $- 2$ に書き換える

$- 2 (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

ステップ 11.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- 2 (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

ステップ 11.2.1.1.4

$u$ に $1$ をかけます。

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

ステップ 11.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 11.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

ステップ 11.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- 2 (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

ステップ 11.2.1.3

最大公約数 $2 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- 2 ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

ステップ 11.2.2

不要な括弧を削除します。

$- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$

ステップ 12

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

ステップ 13

$2 u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 13.1

$2 u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 u + 1 = 0$

ステップ 13.2

$u$ について $2 u + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 13.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 u = - 1$

ステップ 13.2.2

$2 u = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 13.2.2.1

$2 u = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 13.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 13.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 13.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{- 1}{2}$

ステップ 13.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 13.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{1}{2}$

ステップ 14

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 14.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 14.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 15

最終解は $- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = - \frac{1}{2}, 1$

ステップ 16

$\cos (x)$ を $u$ に代入します。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, 1$

ステップ 17

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 1$

ステップ 18

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 18.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 18.2

右辺を簡約します。

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ステップ 18.2.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 18.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 18.4

$2 π - \frac{2 π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 18.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 18.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 18.4.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 18.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 18.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 18.4.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 18.4.3.2

$6 π$ から $2 π$ を引きます。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 18.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 18.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 18.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 18.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 18.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 18.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 19

$\cos (x) = 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 19.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 19.2

右辺を簡約します。

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ステップ 19.2.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 19.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 19.4

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 19.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 19.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 19.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 19.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 19.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 20

すべての解をまとめます。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 21

答えをまとめます。

$x = \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 22

各解を $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) = 1$ に代入して解き、検算します。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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