三角関数例

$12 \sin^{2} (x) - 6 \sin (x) = 4$

ステップ 1

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$12 {(u)}^{2} - 6 u = 4$

ステップ 2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$12 u^{2} - 6 u - 4 = 0$

ステップ 3

$2$ を $12 u^{2} - 6 u - 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ を $12 u^{2}$ で因数分解します。

$2 (6 u^{2}) - 6 u - 4 = 0$

ステップ 3.2

$2$ を $- 6 u$ で因数分解します。

$2 (6 u^{2}) + 2 (- 3 u) - 4 = 0$

ステップ 3.3

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$2 (6 u^{2}) + 2 (- 3 u) + 2 (- 2) = 0$

ステップ 3.4

$2$ を $2 (6 u^{2}) + 2 (- 3 u)$ で因数分解します。

$2 (6 u^{2} - 3 u) + 2 (- 2) = 0$

ステップ 3.5

$2$ を $2 (6 u^{2} - 3 u) + 2 (- 2)$ で因数分解します。

$2 (6 u^{2} - 3 u - 2) = 0$

ステップ 4

$2 (6 u^{2} - 3 u - 2) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 (6 u^{2} - 3 u - 2) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (6 u^{2} - 3 u - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (6 u^{2} - 3 u - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.2.1.2

$6 u^{2} - 3 u - 2$ を $1$ で割ります。

$6 u^{2} - 3 u - 2 = \frac{0}{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$6 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

ステップ 5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6

$a = 6$ 、 $b = - 3$ 、および $c = - 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 2)}}{2 \cdot 6}$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6 \cdot - 2}}{2 \cdot 6}$

ステップ 7.1.2

$- 4 \cdot 6 \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

$- 4$ に $6$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 24 \cdot - 2}}{2 \cdot 6}$

ステップ 7.1.2.2

$- 24$ に $- 2$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 48}}{2 \cdot 6}$

ステップ 7.1.3

$9$ と $48$ をたし算します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 6}$

ステップ 7.2

$2$ に $6$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{12}$

ステップ 8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}, \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$

ステップ 9

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}, \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$

ステップ 10

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}$

$\sin (x) = \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$

ステップ 11

$\sin (x) = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{3 + \sqrt{57}}{12})$

ステップ 11.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$\arcsin (\frac{3 + \sqrt{57}}{12})$ の値を求めます。

$x = 1.0740816$

ステップ 11.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 1.0740816$

ステップ 11.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 1.0740816$

ステップ 11.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 1.0740816$

ステップ 11.4.3

$3.14159265$ から $1.0740816$ を引きます。

$x = 2.06751104$

ステップ 11.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 11.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 11.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 11.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 11.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.0740816 + 2 π n, 2.06751104 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

$\sin (x) = \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{3 - \sqrt{57}}{12})$

ステップ 12.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$\arcsin (\frac{3 - \sqrt{57}}{12})$ の値を求めます。

$x = - 0.38888063$

ステップ 12.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 0.38888063$

ステップ 12.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 0.38888063$

ステップ 12.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 0.38888063$

ステップ 12.4.3

$3.14159265$ と $0.38888063$ をたし算します。

$x = 3.53047329$

ステップ 12.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 12.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 12.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 12.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 12.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.1

$2 π$ を $- 0.38888063$ に足し、正の角を求めます。

$- 0.38888063 + 2 π$

ステップ 12.6.2

$2 π$ から $0.38888063$ を引きます。

$5.89430466$

ステップ 12.6.3

新しい角をリストします。

$x = 5.89430466$

ステップ 12.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 3.53047329 + 2 π n, 5.89430466 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

すべての解をまとめます。

$x = 1.0740816 + 2 π n, 2.06751104 + 2 π n, 3.53047329 + 2 π n, 5.89430466 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例