三角関数例

$8 \sin^{2} (x) \tan (x) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$8 \sin^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 1.1.2

$8 \sin^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) \cdot 8}{\cos (x)} \cdot \sin^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{\sin (x) \cdot 8}{\cos (x)}$ と $\sin^{2} (x)$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) \cdot (8 \sin^{2} (x))}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 1.1.2.3

指数を足して $\sin (x)$ に $\sin^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$\sin^{2} (x)$ を移動させます。

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x) \cdot 8}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 1.1.2.3.2

$\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ をかけます。

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ステップ 1.1.2.3.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x) \cdot 8}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 1.1.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (x)}^{2 + 1} \cdot 8}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 1.1.2.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{3} (x) \cdot 8}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 1.1.3

$8$ を $\sin^{3} (x)$ の左に移動させます。

$\frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 1.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\sin (x)$ を $\sin^{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{8 (\sin (x) \sin^{2} (x))}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 1.2.2

分数を分解します。

$\frac{8 (\sin^{2} (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 1.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{8 (\sin^{2} (x))}{1} \cdot \tan (x) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 1.2.4

$8 (\sin^{2} (x))$ を $1$ で割ります。

$8 \sin^{2} (x) \tan (x) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 2

$8 \sin^{2} (x)$ を $8 \sin^{2} (x) \tan (x) - 8 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$8 \sin^{2} (x)$ を $- 8 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$8 \sin^{2} (x) \tan (x) + 8 \sin^{2} (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.2

$8 \sin^{2} (x)$ を $8 \sin^{2} (x) \tan (x) + 8 \sin^{2} (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$8 \sin^{2} (x) (\tan (x) - 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin^{2} (x) = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

ステップ 4

$\sin^{2} (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\sin^{2} (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin^{2} (x) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\sin^{2} (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (x) = \pm 0$

ステップ 4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$\sin (x) = 0$

ステップ 4.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 4.2.6

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 4.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\tan (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\tan (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) - 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\tan (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\tan (x) = 1$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.4

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.5

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.5.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.5.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.5.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 5.2.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.5.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 5.2.5.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 5.2.6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.2.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $8 \sin^{2} (x) (\tan (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

答えをまとめます。

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ステップ 7.1

$π + 2 π n$ と $π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7.2

$\frac{5 π}{4} + π n$ と $\frac{π}{4} + π n$ を $\frac{π}{4} + π n$ にまとめます。

$x = π n, \frac{π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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