三角関数例

$4 (1 + \sin (x)) = \cos^{2} (x)$

ステップ 1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{4 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2

$\cos (x)$ を分子の同値である式で置き換えます。

$4 (1 + \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3

分配則を当てはめます。

$(4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 4

$4$ に $1$ をかけます。

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 5

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 6

分配則を当てはめます。

$4 (\frac{1}{\cos (x)}) + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7

$4$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 8

$4 \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 8.2

$\frac{4}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 9

各項を簡約します。

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ステップ 9.1

分数を分解します。

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 9.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{4}{1} \cdot \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 9.3

$4$ を $1$ で割ります。

$4 \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 9.4

分数を分解します。

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 9.5

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 9.6

$4$ を $1$ で割ります。

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 10

$\cos^{2} (x)$ と $\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

ステップ 10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.1

$1$ を掛けます。

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

ステップ 10.2.2

共通因数を約分します。

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

ステップ 10.2.3

式を書き換えます。

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1}$

ステップ 10.2.4

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \cos (x)$

ステップ 11

左辺を簡約します。

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ステップ 11.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$4 \frac{1}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

ステップ 11.1.2

$4$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

ステップ 11.1.3

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

ステップ 11.1.4

$4$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

ステップ 12

方程式の両辺に $\cos (x)$ を掛けます。

$\cos (x) (\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cos (x)$

ステップ 13

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

ステップ 14

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

共通因数を約分します。

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

ステップ 14.2

式を書き換えます。

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

ステップ 15

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.1

共通因数を約分します。

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

ステップ 15.2

式を書き換えます。

$4 + 4 \sin (x) = \cos (x) \cos (x)$

ステップ 16

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 16.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos (x)$

ステップ 16.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

ステップ 16.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 + 4 \sin (x) = {\cos (x)}^{1 + 1}$

ステップ 16.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{2} (x)$

ステップ 17

方程式の両辺から $\cos^{2} (x)$ を引きます。

$4 + 4 \sin (x) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 18

$\cos^{2} (x)$ を $1 - \sin^{2} (x)$ で置き換えます。

$4 + 4 \sin (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 19

$x$ について解きます。

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ステップ 19.1

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$4 + 4 (u) - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

ステップ 19.2

$4 + 4 u - (1 - u^{2})$ を簡約します。

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ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 19.2.1.1

分配則を当てはめます。

$4 + 4 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

ステップ 19.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 + 4 u - 1 - - u^{2} = 0$

ステップ 19.2.1.3

$- - u^{2}$ を掛けます。

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ステップ 19.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 + 4 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

ステップ 19.2.1.3.2

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$4 + 4 u - 1 + u^{2} = 0$

ステップ 19.2.2

$4$ から $1$ を引きます。

$4 u + 3 + u^{2} = 0$

ステップ 19.3

たすき掛けを利用して $4 u + 3 + u^{2}$ を因数分解します。

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ステップ 19.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $4$ です。

$1, 3$

ステップ 19.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u + 1) (u + 3) = 0$

ステップ 19.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u + 1 = 0$

$u + 3 = 0$

ステップ 19.5

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 19.5.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 19.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 19.6

$u + 3$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 19.6.1

$u + 3$ が $0$ に等しいとします。

$u + 3 = 0$

ステップ 19.6.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$u = - 3$

ステップ 19.7

最終解は $(u + 1) (u + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = - 1, - 3$

ステップ 19.8

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = - 1, - 3$

ステップ 19.9

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = - 3$

ステップ 19.10

$\sin (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 19.10.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- 1)$

ステップ 19.10.2

右辺を簡約します。

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ステップ 19.10.2.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 19.10.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 19.10.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 19.10.4.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 19.10.4.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 19.10.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 19.10.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 19.10.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 19.10.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 19.10.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 19.10.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 19.10.6.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 19.10.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 19.10.6.3

分数をまとめます。

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ステップ 19.10.6.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 19.10.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 19.10.6.4

分子を簡約します。

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ステップ 19.10.6.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 19.10.6.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 19.10.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 19.10.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 19.11

$\sin (x) = - 3$ の $x$ について解きます。

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ステップ 19.11.1

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- 3$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 19.12

すべての解をまとめます。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 19.13

答えをまとめます。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例