三角関数例

$(\cot (x) - 1) (\sqrt{3} \cot (x) + 1) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cot (x) - 1 = 0$

$\sqrt{3} \cot (x) + 1 = 0$

ステップ 2

$\cot (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\cot (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cot (x) - 1 = 0$

ステップ 2.2

$x$ について $\cot (x) - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\cot (x) = 1$

ステップ 2.2.2

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (1)$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$arccot (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 2.2.4

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 2.2.5

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 2.2.5.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.2.5.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 2.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 2.2.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.5.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 2.2.5.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 2.2.6

$\cot (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 2.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 2.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.2.7

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$\sqrt{3} \cot (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\sqrt{3} \cot (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\sqrt{3} \cot (x) + 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $\sqrt{3} \cot (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sqrt{3} \cot (x) = - 1$

ステップ 3.2.2

$\sqrt{3} \cot (x) = - 1$ の各項を $\sqrt{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$\sqrt{3} \cot (x) = - 1$ の各項を $\sqrt{3}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{3} \cot (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$\sqrt{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{3} \cot (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$\cot (x)$ を $1$ で割ります。

$\cot (x) = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cot (x) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.2.2.3.2

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\cot (x) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 3.2.2.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 3.2.2.3.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 3.2.2.3.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 3.2.2.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.2.2.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 3.2.2.3.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.2.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.2.2.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.2.2.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.2.2.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 3.2.2.3.3.6.5

指数を求めます。

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 3.2.5

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{2 π}{3} - π$

ステップ 3.2.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 3.2.6.1

$2 π$ に $\frac{2 π}{3} - π$ をたし算します。

$x = \frac{2 π}{3} - π + 2 π$

ステップ 3.2.6.2

$\frac{5 π}{3}$ の結果の角度は正で $\frac{2 π}{3} - π$ と隣接します。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 3.2.7

$\cot (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 3.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 3.2.7.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.2.8

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

最終解は $(\cot (x) - 1) (\sqrt{3} \cot (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

答えをまとめます。

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ステップ 5.1

$\frac{5 π}{4} + π n$ と $\frac{π}{4} + π n$ を $\frac{π}{4} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2

$\frac{5 π}{3} + π n$ と $\frac{2 π}{3} + π n$ を $\frac{2 π}{3} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例