三角関数例

$\frac{1}{3} \cdot \tan^{3} (x) - \tan (x) = 0$

ステップ 1

$u$ を $\tan (x)$ に代入します。

$\frac{1}{3} {(u)}^{3} - (u) = 0$

ステップ 2

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$\frac{u^{3}}{3} - u = 0$

ステップ 3

$\frac{u^{3}}{3} - u = 0$ の各項に $3$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1

$\frac{u^{3}}{3} - u = 0$ の各項に $3$ を掛けます。

$\frac{u^{3}}{3} \cdot 3 - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{u^{3}}{3} \cdot 3 - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

ステップ 3.2.1.1.2

式を書き換えます。

$u^{3} - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

ステップ 3.2.1.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$u^{3} - 3 u = 0 \cdot 3$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$0$ に $3$ をかけます。

$u^{3} - 3 u = 0$

ステップ 4

$u$ を $u^{3} - 3 u$ で因数分解します。

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ステップ 4.1

$u$ を $u^{3}$ で因数分解します。

$u \cdot u^{2} - 3 u = 0$

ステップ 4.2

$u$ を $- 3 u$ で因数分解します。

$u \cdot u^{2} + u \cdot - 3 = 0$

ステップ 4.3

$u$ を $u \cdot u^{2} + u \cdot - 3$ で因数分解します。

$u (u^{2} - 3) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u = 0$

$u^{2} - 3 = 0$

ステップ 6

$u$ が $0$ に等しいとします。

$u = 0$

ステップ 7

$u^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 7.1

$u^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$u^{2} - 3 = 0$

ステップ 7.2

$u$ について $u^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$u^{2} = 3$

ステップ 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{3}$

ステップ 7.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$u = \sqrt{3}$

ステップ 7.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$u = - \sqrt{3}$

ステップ 7.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$u = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 8

最終解は $u (u^{2} - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 9

$\tan (x)$ を $u$ に代入します。

$\tan (x) = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 10

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\tan (x) = 0$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

ステップ 11

$\tan (x) = 0$ の $x$ について解きます。

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ステップ 11.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (0)$

ステップ 11.2

右辺を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 11.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + 0$

ステップ 11.4

$π$ と $0$ をたし算します。

$x = π$

ステップ 11.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 11.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 11.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 11.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 11.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 11.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

$\tan (x) = \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 12.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (\sqrt{3})$

ステップ 12.2

右辺を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 12.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{3}$

ステップ 12.4

$π + \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 12.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 12.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 12.4.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 12.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

ステップ 12.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 12.4.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

ステップ 12.4.3.2

$3 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 12.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 12.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 12.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 12.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 12.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 12.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

$\tan (x) = - \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 13.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

ステップ 13.2

右辺を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ の厳密値は $- \frac{π}{3}$ です。

$x = - \frac{π}{3}$

ステップ 13.3

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{3} - π$

ステップ 13.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 13.4.1

$2 π$ に $- \frac{π}{3} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

ステップ 13.4.2

$\frac{2 π}{3}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{3} - π$ と隣接します。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 13.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 13.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 13.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 13.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 13.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 13.6

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 13.6.1

$π$ を $- \frac{π}{3}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{3} + π$

ステップ 13.6.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 13.6.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.6.3.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 13.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 13.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.6.4.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

ステップ 13.6.4.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 13.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 13.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14

すべての解をまとめます。

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

答えをまとめます。

$x = \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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