三角関数例

$\frac{1}{2} = \cos (\frac{4}{3} \cdot (π x))$

ステップ 1

方程式を $\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x)) = \frac{1}{2}$ として書き換えます。

$\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x)) = \frac{1}{2}$

ステップ 2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{4}{3} \cdot (π x) = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{4}{3} \cdot (π x)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\frac{4}{3} (π x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$π$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{3} x = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 3.1.1.2

$\frac{π \cdot 4}{3}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 x}{3} = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 3.1.2

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 π x}{3} = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{3}$

ステップ 5

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$4 π x = π$

ステップ 6

$4 π x = π$ の各項を $4 π$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$4 π x = π$ の各項を $4 π$ で割ります。

$\frac{4 π x}{4 π} = \frac{π}{4 π}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 π x}{4 π} = \frac{π}{4 π}$

ステップ 6.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{4 π}$

ステップ 6.2.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{4 π}$

ステップ 6.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{4 π}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{π}{4 π}$

ステップ 6.3.1.2

式を書き換えます。

$x = \frac{1}{4}$

ステップ 7

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$\frac{4 π x}{3} = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 8

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺に $\frac{3}{4 π}$ を掛けます。

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

ステップ 8.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

ステップ 8.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

ステップ 8.2.1.1.2

$4 π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1.2.1

$4 π$ を $4 π x$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

ステップ 8.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

ステップ 8.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

ステップ 8.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$\frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$ を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = \frac{3}{4 π} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

ステップ 8.2.2.1.2

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{3}{4 π} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

ステップ 8.2.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 8.2.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 8.2.2.1.4.2

式を書き換えます。

$x = \frac{1}{4 π} (2 π \cdot 3 - π)$

ステップ 8.2.2.1.5

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{1}{4 π} (6 π - π)$

ステップ 8.2.2.1.6

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{1}{4 π} (5 π)$

ステップ 8.2.2.1.7

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1.7.1

$π$ を $4 π$ で因数分解します。

$x = \frac{1}{π \cdot 4} (5 π)$

ステップ 8.2.2.1.7.2

$π$ を $5 π$ で因数分解します。

$x = \frac{1}{π \cdot 4} (π \cdot 5)$

ステップ 8.2.2.1.7.3

共通因数を約分します。

$x = \frac{1}{π \cdot 4} (π \cdot 5)$

ステップ 8.2.2.1.7.4

式を書き換えます。

$x = \frac{1}{4} \cdot 5$

ステップ 8.2.2.1.8

$\frac{1}{4}$ と $5$ をまとめます。

$x = \frac{5}{4}$

ステップ 9

$\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x))$ の周期を求めます。

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ステップ 9.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 9.2

周期の公式の $b$ を $\frac{4}{3} \cdot π$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} \cdot π |}$

ステップ 9.3

分母を簡約します。

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ステップ 9.3.1

$\frac{4}{3}$ と $π$ をまとめます。

$\frac{2 π}{| \frac{4 π}{3} |}$

ステップ 9.3.2

$\frac{4 π}{3}$ は約 $4.1887902$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{4 π}{3}}$

ステップ 9.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \frac{3}{4 π}$

ステップ 9.5

$2 π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.5.1

$2 π$ を $4 π$ で因数分解します。

$2 π \frac{3}{2 π (2)}$

ステップ 9.5.2

共通因数を約分します。

$2 π \frac{3}{2 π \cdot 2}$

ステップ 9.5.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{2}$

ステップ 10

$\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x))$ 関数の周期が $\frac{3}{2}$ なので、両方向で $\frac{3}{2}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{1}{4} + \frac{3 n}{2}, \frac{5}{4} + \frac{3 n}{2}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例