三角関数例

$12^{2 x + 5} = 55 (7^{3 x})$

ステップ 1

方程式の両辺の対数をとります。

$\ln (12^{2 x + 5}) = \ln (55 \cdot 7^{3 x})$

ステップ 2

$2 x + 5$ を対数の外に移動させて、 $\ln (12^{2 x + 5})$ を展開します。

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55 \cdot 7^{3 x})$

ステップ 3

$\ln (55 \cdot 7^{3 x})$ を $\ln (55) + \ln (7^{3 x})$ に書き換えます。

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55) + \ln (7^{3 x})$

ステップ 4

$3 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (7^{3 x})$ を展開します。

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

ステップ 5

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$(2 x + 5) \ln (12)$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

分配則を当てはめます。

$2 x \ln (12) + 5 \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

ステップ 5.1.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (12)$ を簡約します。

$x \ln (12^{2}) + 5 \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

ステップ 5.1.1.3

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (12)$ を簡約します。

$x \ln (12^{2}) + \ln (12^{5}) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

ステップ 5.1.1.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1.4.1

$12$ を $2$ 乗します。

$x \ln (144) + \ln (12^{5}) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

ステップ 5.1.1.4.2

$12$ を $5$ 乗します。

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (7)$ を簡約します。

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + x \ln (7^{3})$

ステップ 5.2.1.2

$7$ を $3$ 乗します。

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + x \ln (343)$

ステップ 5.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$x \ln (144) + \ln (248832) - \ln (55) - x \ln (343) = 0$

ステップ 5.4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$x \ln (144) + \ln (\frac{248832}{55}) - x \ln (343) = 0$

ステップ 5.5

方程式の両辺から $\ln (\frac{248832}{55})$ を引きます。

$x \ln (144) - x \ln (343) = - \ln (\frac{248832}{55})$

ステップ 5.6

$x$ を $x \ln (144) - x \ln (343)$ で因数分解します。

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ステップ 5.6.1

$x$ を $x \ln (144)$ で因数分解します。

$x (\ln (144)) - x \ln (343) = - \ln (\frac{248832}{55})$

ステップ 5.6.2

$x$ を $- x \ln (343)$ で因数分解します。

$x (\ln (144)) + x (- 1 \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

ステップ 5.6.3

$x$ を $x (\ln (144)) + x (- 1 \ln (343))$ で因数分解します。

$x (\ln (144) - 1 \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

ステップ 5.7

$- 1 \ln (343)$ を $- \ln (343)$ に書き換えます。

$x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

ステップ 5.8

$x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$ の各項を $\ln (144) - \ln (343)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.8.1

$x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$ の各項を $\ln (144) - \ln (343)$ で割ります。

$\frac{x (\ln (144) - \ln (343))}{\ln (144) - \ln (343)} = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

ステップ 5.8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.8.2.1

$\ln (144) - \ln (343)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (\ln (144) - \ln (343))}{\ln (144) - \ln (343)} = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

ステップ 5.8.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

ステップ 5.8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.8.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{\ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \frac{\ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

10進法形式：

$x = 9.69816080 \dots$

三角関数 例

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