三角関数例

$\cos (22.5) = (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}})$

ステップ 1

方程式を $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}} = \cos (22.5)$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}} = \cos (22.5)$

ステップ 2

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}}) = 2 \cos (22.5)$

ステップ 3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ をまとめます。

$2 \frac{\sqrt{A + \sqrt{B}}}{2} = 2 \cos (22.5)$

ステップ 3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\sqrt{A + \sqrt{B}}}{2} = 2 \cos (22.5)$

ステップ 3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \cos (22.5)$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2 \cos (22.5)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$\cos (22.5)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $22.5$ を書き直します。

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \cos (\frac{45}{2})$

ステップ 3.2.1.1.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

ステップ 3.2.1.1.3

余弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

ステップ 3.2.1.1.4

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 3.2.1.1.5

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 3.2.1.1.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 3.2.1.1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 3.2.1.1.5.4

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.5.4.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.2.1.1.5.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

ステップ 3.2.1.1.5.5

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 3.2.1.1.5.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.5.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 3.2.1.1.5.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

ステップ 3.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

ステップ 3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{A + \sqrt{B}}}^{2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

ステップ 5

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ を ${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(A + \sqrt{B})}^{1} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

簡約します。

$A + \sqrt{B} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ を $2 + \sqrt{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ を ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$A + \sqrt{B} = {({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 5.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 5.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 5.3.1.4.2

式を書き換えます。

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{1}$

ステップ 5.3.1.5

簡約します。

$A + \sqrt{B} = 2 + \sqrt{2}$

ステップ 6

方程式の両辺から $A$ を引きます。

$\sqrt{B} = 2 + \sqrt{2} - A$

ステップ 7

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{B}}^{2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

ステップ 8

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{B}$ を $B^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(B^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

${(B^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

${(B^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$B^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

ステップ 8.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$B^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

ステップ 8.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$B^{1} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

ステップ 8.2.1.2

簡約します。

$B = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

${(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

${(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$ を $(2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$ に書き換えます。

$B = (2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$

ステップ 8.3.1.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$ を展開します。

$B = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + 2 (- A) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

ステップ 8.3.1.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$B = 4 + 2 \sqrt{2} + 2 (- A) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

ステップ 8.3.1.3.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

ステップ 8.3.1.3.1.3

$2$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

ステップ 8.3.1.3.1.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

ステップ 8.3.1.3.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

ステップ 8.3.1.3.1.6

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

ステップ 8.3.1.3.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

ステップ 8.3.1.3.1.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - A (- A)$

ステップ 8.3.1.3.1.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 A \cdot A$

ステップ 8.3.1.3.1.10

指数を足して $A$ に $A$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.1.10.1

$A$ を移動させます。

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (A \cdot A)$

ステップ 8.3.1.3.1.10.2

$A$ に $A$ をかけます。

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 A^{2}$

ステップ 8.3.1.3.1.11

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + 1 A^{2}$

ステップ 8.3.1.3.1.12

$A^{2}$ に $1$ をかけます。

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

ステップ 8.3.1.3.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.2.1

$4$ と $2$ をたし算します。

$B = 6 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

ステップ 8.3.1.3.2.2

$2 \sqrt{2}$ と $2 \sqrt{2}$ をたし算します。

$B = 6 - 2 A + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

ステップ 8.3.1.3.2.3

$- 2 A$ から $2 A$ を引きます。

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \sqrt{2} + A^{2}$

ステップ 8.3.1.3.2.4

$\sqrt{2} (- A)$ の因数を並べ替えます。

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} - A \sqrt{2} - A \sqrt{2} + A^{2}$

ステップ 8.3.1.3.2.5

$- A \sqrt{2}$ から $A \sqrt{2}$ を引きます。

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} - 2 A \sqrt{2} + A^{2}$

三角関数 例

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