三角関数例

$\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) - 1 = 0$

ステップ 1

$\cos^{2} (2 x)$ を $1 - \sin^{2} (2 x)$ で置き換えます。

$(1 - \sin^{2} (2 x)) + \sin (2 x) - 1 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) - 1 = 0$

ステップ 2.1.2

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 1$ を移動させます。

$\cos^{2} (2 x) - 1 + \sin (2 x) = 0$

ステップ 2.1.2.2

$\cos^{2} (2 x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$- 1 + \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

ステップ 2.1.2.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

ステップ 2.1.2.4

$- 1$ を $\cos^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

ステップ 2.1.2.5

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))$ で因数分解します。

$- 1 (1 - \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

ステップ 2.1.2.6

$- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))$ を $- (1 - \cos^{2} (2 x))$ に書き換えます。

$- (1 - \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

ステップ 2.1.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

ステップ 2.2

$\sin (2 x)$ を $- \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sin (2 x)$ を $- \sin^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

ステップ 2.2.2

$\sin (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

ステップ 2.2.3

$\sin (2 x)$ を $\sin^{1} (2 x)$ で因数分解します。

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1 = 0$

ステップ 2.2.4

$\sin (2 x)$ を $\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1$ で因数分解します。

$\sin (2 x) (- \sin (2 x) + 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (2 x) = 0$

$- \sin (2 x) + 1 = 0$

ステップ 2.4

$\sin (2 x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\sin (2 x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (2 x) = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $\sin (2 x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (0)$

ステップ 2.4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 x = 0$

ステップ 2.4.2.3

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.4.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.4.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 2.4.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 2.4.2.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$2 x = π - 0$

ステップ 2.4.2.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.5.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 x = π + 0$

ステップ 2.4.2.5.1.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$2 x = π$

ステップ 2.4.2.5.2

$2 x = π$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.5.2.1

$2 x = π$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 2.4.2.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 2.4.2.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 2.4.2.6

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 2.4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 2.4.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 2.4.2.6.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.4.2.7

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5

$- \sin (2 x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- \sin (2 x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- \sin (2 x) + 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $- \sin (2 x) + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \sin (2 x) = - 1$

ステップ 2.5.2.2

$- \sin (2 x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

$- \sin (2 x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sin (2 x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (2 x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2.2.2

$\sin (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\sin (2 x) = 1$

ステップ 2.5.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (1)$

ステップ 2.5.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$2 x = \frac{π}{2}$

ステップ 2.5.2.5

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.1

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 2.5.2.5.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.5.2.5.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.6

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$2 x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 2.5.2.7

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.7.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.7.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.5.2.7.1.2

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.5.2.7.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 2.5.2.7.1.4

$π \cdot 2$ から $π$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.7.1.4.1

$π$ と $2$ を並べ替えます。

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 2.5.2.7.1.4.2

$2 \cdot π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{π}{2}$

ステップ 2.5.2.7.2

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.7.2.1

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.7.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.7.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.7.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.7.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.7.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 2.5.2.7.2.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.7.2.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.5.2.7.2.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 2.5.2.8

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.5.2.8.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 2.5.2.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 2.5.2.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.8.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 2.5.2.8.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.5.2.9

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.6

最終解は $\sin (2 x) (- \sin (2 x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$\frac{π}{2} + π n$ と $\frac{π n}{2}$ を $π n$ にまとめます。

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例