三角関数例

$\csc^{2} (x) + 0.5 \cot (x) - 5 = 0$

ステップ 1

$\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $\csc^{2} (x)$ を $\cot^{2} (x) + 1$ で置き換えます。

$(\cot^{2} (x) + 1) + 0.5 \cot (x) - 5 = 0$

ステップ 2

$1$ から $5$ を引きます。

$\cot^{2} (x) + 0.5 \cot (x) - 4 = 0$

ステップ 3

$u$ を $\cot (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} + 0.5 (u) - 4 = 0$

ステップ 4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5

$a = 1$ 、 $b = 0.5$ 、および $c = - 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 0.5 \pm \sqrt{{0.5}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$0.5$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2.2

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 + 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3

$0.25$ と $16$ をたし算します。

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{16.25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{16.25}}{2}$

ステップ 7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = 1.76556443, - 2.26556443$

ステップ 8

$\cot (x)$ を $u$ に代入します。

$\cot (x) = 1.76556443, - 2.26556443$

ステップ 9

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cot (x) = 1.76556443$

$\cot (x) = - 2.26556443$

ステップ 10

$\cot (x) = 1.76556443$ の $x$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (1.76556443)$

ステップ 10.2

右辺を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$arccot (1.76556443)$ の値を求めます。

$x = 0.5153404$

ステップ 10.3

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 0.5153404$

ステップ 10.4

$x$ について解きます。

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ステップ 10.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 0.5153404$

ステップ 10.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 0.5153404$

ステップ 10.4.3

$3.14159265$ と $0.5153404$ をたし算します。

$x = 3.65693305$

ステップ 10.5

$\cot (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 10.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 10.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 10.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 10.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 10.6

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.5153404 + π n, 3.65693305 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

$\cot (x) = - 2.26556443$ の $x$ について解きます。

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ステップ 11.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (- 2.26556443)$

ステップ 11.2

右辺を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$arccot (- 2.26556443)$ の値を求めます。

$x = 2.7259209$

ステップ 11.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2.7259209 - (3.14159265)$

ステップ 11.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 11.4.1

$2 π$ に $2.7259209 - (3.14159265)$ をたし算します。

$x = 2.7259209 - (3.14159265) + 2 π$

ステップ 11.4.2

$5.86751355$ の結果の角度は正で $2.7259209 - (3.14159265)$ と隣接します。

$x = 5.86751355$

ステップ 11.5

$\cot (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 11.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 11.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 11.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 11.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 11.6

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

すべての解をまとめます。

$x = 0.5153404 + π n, 3.65693305 + π n, 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

解をまとめます。

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ステップ 13.1

$3.65693305 + π n$ と $0.5153404 + π n$ を $0.5153404 + π n$ にまとめます。

$x = 0.5153404 + π n, 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13.2

$5.86751355 + π n$ と $2.7259209 + π n$ を $2.7259209 + π n$ にまとめます。

$x = 0.5153404 + π n, 2.7259209 + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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