三角関数例

$e^{2 x} - 7 e^{x} = 8$

ステップ 1

$e^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

${(e^{x})}^{2} - 7 e^{x} = 8$

ステップ 2

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u^{2} - 7 u = 8$

ステップ 3

$u$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$u^{2} - 7 u - 8 = 0$

ステップ 3.2

たすき掛けを利用して $u^{2} - 7 u - 8$ を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $- 7$ です。

$- 8, 1$

ステップ 3.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 8) (u + 1) = 0$

$(u - 8) (u + 1) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 8 = 0$

$u + 1 = 0$

ステップ 3.4

$u - 8$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$u - 8$ が $0$ に等しいとします。

$u - 8 = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$u = 8$

$u = 8$

ステップ 3.5

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

$u = - 1$

ステップ 3.6

最終解は $(u - 8) (u + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 8, - 1$

$u = 8, - 1$

ステップ 4

$8$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$8 = e^{x}$

ステップ 5

$8 = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $e^{x} = 8$ として書き換えます。

$e^{x} = 8$

ステップ 5.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

ステップ 5.3

左辺を展開します。

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ステップ 5.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (8)$

ステップ 5.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (8)$

ステップ 5.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (8)$

$x = \ln (8)$

$x = \ln (8)$

ステップ 6

$- 1$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$- 1 = e^{x}$

ステップ 7

$- 1 = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 7.1

方程式を $e^{x} = - 1$ として書き換えます。

$e^{x} = - 1$

ステップ 7.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

ステップ 7.3

$\ln (- 1)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 7.4

$e^{x} = - 1$ の解はありません

解がありません

解がありません

ステップ 8

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (8)$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (8)$

10進法形式：

$x = 2.07944154 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$