三角関数例

$\sqrt{3} \cot (3 x) - 1 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\sqrt{3} \cot (3 x) = 1$

ステップ 2

$\sqrt{3} \cot (3 x) = 1$ の各項を $\sqrt{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{3} \cot (3 x) = 1$ の各項を $\sqrt{3}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{3} \cot (3 x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sqrt{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{3} \cot (3 x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.2.1.2

$\cot (3 x)$ を $1$ で割ります。

$\cot (3 x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\cot (3 x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.3.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\cot (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 2.3.2.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cot (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 2.3.2.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cot (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 2.3.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cot (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.3.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cot (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.3.2.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cot (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cot (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cot (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cot (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\cot (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 2.3.2.6.5

指数を求めます。

$\cot (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 3

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$3 x = arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$3 x = \frac{π}{3}$

ステップ 5

$3 x = \frac{π}{3}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$3 x = \frac{π}{3}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

ステップ 5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.2

$\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

ステップ 5.3.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{π}{9}$

ステップ 6

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$3 x = π + \frac{π}{3}$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

簡約します。

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ステップ 7.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 7.1.2

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$3 x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 7.1.3

公分母の分子をまとめます。

$3 x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

ステップ 7.1.4

$π \cdot 3$ と $π$ をたし算します。

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ステップ 7.1.4.1

$π$ と $3$ を並べ替えます。

$3 x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

ステップ 7.1.4.2

$3 \cdot π$ と $π$ をたし算します。

$3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$

ステップ 7.2

$3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.1

$3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

ステップ 7.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{4 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 7.2.3.2

$\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.3.2.1

$\frac{4 π}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

ステップ 7.2.3.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{4 π}{9}$

ステップ 8

$\cot (3 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 8.2

周期の公式の $b$ を $3$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 3 |}$

ステップ 8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{π}{3}$

ステップ 9

$\cot (3 x)$ 関数の周期が $\frac{π}{3}$ なので、両方向で $\frac{π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{4 π}{9} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例