三角関数例

$\tan^{2} (x) - 3 \tan (x) + 1 = 0$

ステップ 1

$u$ を $\tan (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} - 3 u + 1 = 0$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

$a = 1$ 、 $b = - 3$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3

$9$ から $4$ を引きます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

ステップ 5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 6

$\tan (x)$ を $u$ に代入します。

$\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 7

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\tan (x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 8

$\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\arctan (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})$ の値を求めます。

$x = 1.20593249$

ステップ 8.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 1.20593249$

ステップ 8.4

$x$ について解きます。

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ステップ 8.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 1.20593249$

ステップ 8.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 1.20593249$

ステップ 8.4.3

$3.14159265$ と $1.20593249$ をたし算します。

$x = 4.34752515$

ステップ 8.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 8.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 8.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.20593249 + π n, 4.34752515 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

$\tan (x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

ステップ 9.2

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\arctan (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$ の値を求めます。

$x = 0.36486382$

ステップ 9.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 0.36486382$

ステップ 9.4

$x$ について解きます。

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ステップ 9.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 0.36486382$

ステップ 9.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 0.36486382$

ステップ 9.4.3

$3.14159265$ と $0.36486382$ をたし算します。

$x = 3.50645648$

ステップ 9.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 9.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 9.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 9.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 9.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 9.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.36486382 + π n, 3.50645648 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

すべての解をまとめます。

$x = 1.20593249 + π n, 4.34752515 + π n, 0.36486382 + π n, 3.50645648 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

解をまとめます。

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ステップ 11.1

$4.34752515 + π n$ と $1.20593249 + π n$ を $1.20593249 + π n$ にまとめます。

$x = 1.20593249 + π n, 0.36486382 + π n, 3.50645648 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11.2

$3.50645648 + π n$ と $0.36486382 + π n$ を $0.36486382 + π n$ にまとめます。

$x = 1.20593249 + π n, 0.36486382 + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例