三角関数例

$\tan^{2} (x) - 3 \sec (x) = - 3$

ステップ 1

$\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $\tan^{2} (x)$ を $\sec^{2} (x) - 1$ で置き換えます。

$(\sec^{2} (x) - 1) - 3 \sec (x) = - 3$

ステップ 2

多項式を並べ替えます。

$\sec^{2} (x) - 3 \sec (x) - 1 = - 3$

ステップ 3

$u$ を $\sec (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} - 3 u - 1 = - 3$

ステップ 4

方程式の両辺に $3$ を足します。

$u^{2} - 3 u - 1 + 3 = 0$

ステップ 5

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

ステップ 6

たすき掛けを利用して $u^{2} - 3 u + 2$ を因数分解します。

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ステップ 6.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $- 3$ です。

$- 2, - 1$

ステップ 6.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 2) (u - 1) = 0$

ステップ 7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

ステップ 8

$u - 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 8.1

$u - 2$ が $0$ に等しいとします。

$u - 2 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$u = 2$

ステップ 9

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 9.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 10

最終解は $(u - 2) (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 2, 1$

ステップ 11

$\sec (x)$ を $u$ に代入します。

$\sec (x) = 2, 1$

ステップ 12

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = 1$

ステップ 13

$\sec (x) = 2$ の $x$ について解きます。

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ステップ 13.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (2)$

ステップ 13.2

右辺を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$arcsec (2)$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 13.3

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 13.4

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 13.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 13.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 13.4.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 13.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 13.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 13.4.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 13.4.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 13.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 13.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 13.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 13.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 13.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 13.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14

$\sec (x) = 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 14.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (1)$

ステップ 14.2

右辺を簡約します。

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ステップ 14.2.1

$arcsec (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 14.3

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 14.4

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 14.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 14.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 14.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 14.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 14.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 14.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 16

$2 π + 2 π n$ と $2 π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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