三角関数例

$\tan^{2} (x) - \tan (x) - 2 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = \tan (x)$ とします。 $u$ を $\tan (x)$ に代入します。

$u^{2} - u - 2 = 0$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $u^{2} - u - 2$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $- 1$ です。

$- 2, 1$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 2) (u + 1) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$(\tan (x) - 2) (\tan (x) + 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (x) - 2 = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

ステップ 3

$\tan (x) - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\tan (x) - 2$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) - 2 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $\tan (x) - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\tan (x) = 2$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (2)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$\arctan (2)$ の値を求めます。

$x = 1.10714871$

ステップ 3.2.4

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

ステップ 3.2.5

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.5.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

ステップ 3.2.5.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

ステップ 3.2.5.3

$3.14159265$ と $1.10714871$ をたし算します。

$x = 4.24874137$

ステップ 3.2.6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 3.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 3.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.2.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\tan (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\tan (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) + 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\tan (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\tan (x) = - 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 1)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.4

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 4.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 4.2.5.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 4.2.5.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 4.2.6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 4.2.7

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 4.2.7.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 4.2.7.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.7.3

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.7.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 4.2.7.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.7.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 4.2.7.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 4.2.7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 4.2.8

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $(\tan (x) - 2) (\tan (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$4.24874137 + π n$ と $1.10714871 + π n$ を $1.10714871 + π n$ にまとめます。

$x = 1.10714871 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例