三角関数例

$\sin^{4} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$\sin^{4} (x)$ を ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

${(\sin^{2} (x))}^{2} + 2 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

ステップ 1.2

$u = \sin^{2} (x)$ とします。 $u$ を $\sin^{2} (x)$ に代入します。

$u^{2} + 2 u - 3 = 0$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して $u^{2} + 2 u - 3$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $2$ です。

$- 1, 3$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 1) (u + 3) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を $\sin^{2} (x)$ で置き換えます。

$(\sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) + 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

$\sin^{2} (x) + 3 = 0$

ステップ 3

$\sin^{2} (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\sin^{2} (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $\sin^{2} (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\sin^{2} (x) = 1$

ステップ 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{1}$

ステップ 3.2.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sin (x) = \pm 1$

ステップ 3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (x) = 1$

ステップ 3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (x) = - 1$

ステップ 3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (x) = 1, - 1$

ステップ 3.2.5

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = 1$

$\sin (x) = - 1$

ステップ 3.2.6

$\sin (x) = 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 3.2.6.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (1)$

ステップ 3.2.6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.6.2.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.6.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.6.4

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.6.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.6.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.6.4.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.6.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 3.2.6.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.6.4.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 3.2.6.4.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.6.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.6.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.2.6.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.2.6.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.2.7

$\sin (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 3.2.7.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- 1)$

ステップ 3.2.7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.7.2.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.7.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 3.2.7.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 3.2.7.4.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 3.2.7.4.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 3.2.7.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.7.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.2.7.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.2.7.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 3.2.7.6.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 3.2.7.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.7.6.3

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.7.6.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.2.7.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 3.2.7.6.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.7.6.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 3.2.7.6.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 3.2.7.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 3.2.7.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.2.8

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.2.9

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\sin^{2} (x) + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\sin^{2} (x) + 3$ が $0$ に等しいとします。

$\sin^{2} (x) + 3 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\sin^{2} (x) + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$\sin^{2} (x) = - 3$

ステップ 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 3}$

ステップ 4.2.3

$\pm \sqrt{- 3}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

ステップ 4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

ステップ 4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm i \sqrt{3}$

ステップ 4.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (x) = i \sqrt{3}$

ステップ 4.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$

ステップ 4.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

ステップ 4.2.5

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = i \sqrt{3}$

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$

ステップ 4.2.6

$\sin (x) = i \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (i \sqrt{3})$

ステップ 4.2.6.2

$\arcsin (i \sqrt{3})$ の逆正弦は未定義です。

未定義

ステップ 4.2.7

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- i \sqrt{3})$

ステップ 4.2.7.2

$\arcsin (- i \sqrt{3})$ の逆正弦は未定義です。

未定義

ステップ 4.2.8

すべての解をまとめます。

解がありません

ステップ 5

最終解は $(\sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例