三角関数例

$\tan^{2} (3 x) - 3 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$\tan^{2} (3 x) = 3$

ステップ 2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\tan (3 x) = \pm \sqrt{3}$

ステップ 3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\tan (3 x) = \sqrt{3}$

ステップ 3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\tan (3 x) = - \sqrt{3}$

ステップ 3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\tan (3 x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 4

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\tan (3 x) = \sqrt{3}$

$\tan (3 x) = - \sqrt{3}$

ステップ 5

$\tan (3 x) = \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$3 x = \arctan (\sqrt{3})$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$3 x = \frac{π}{3}$

ステップ 5.3

$3 x = \frac{π}{3}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$3 x = \frac{π}{3}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3.2

$\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

ステップ 5.3.3.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{π}{9}$

ステップ 5.4

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$3 x = π + \frac{π}{3}$

ステップ 5.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 5.5.1.2

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$3 x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 5.5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$3 x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

ステップ 5.5.1.4

$π \cdot 3$ と $π$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.4.1

$π$ と $3$ を並べ替えます。

$3 x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

ステップ 5.5.1.4.2

$3 \cdot π$ と $π$ をたし算します。

$3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$

ステップ 5.5.2

$3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

ステップ 5.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

ステップ 5.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

ステップ 5.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{4 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 5.5.2.3.2

$\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.2.1

$\frac{4 π}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

ステップ 5.5.2.3.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{4 π}{9}$

ステップ 5.6

$\tan (3 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.6.2

周期の公式の $b$ を $3$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 3 |}$

ステップ 5.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{π}{3}$

ステップ 5.7

$\tan (3 x)$ 関数の周期が $\frac{π}{3}$ なので、両方向で $\frac{π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{4 π}{9} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\tan (3 x) = - \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$3 x = \arctan (- \sqrt{3})$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ の厳密値は $- \frac{π}{3}$ です。

$3 x = - \frac{π}{3}$

ステップ 6.3

$3 x = - \frac{π}{3}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$3 x = - \frac{π}{3}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

ステップ 6.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 6.3.3.2

$- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{π}{3}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{3 \cdot 3}$

ステップ 6.3.3.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$x = - \frac{π}{9}$

ステップ 6.4

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$3 x = - \frac{π}{3} - π$

ステップ 6.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 6.5.1

$2 π$ に $- \frac{π}{3} - π$ をたし算します。

$3 x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

ステップ 6.5.2

$\frac{2 π}{3}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{3} - π$ と隣接します。

$3 x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 6.5.3

$3 x = \frac{2 π}{3}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.1

$3 x = \frac{2 π}{3}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

ステップ 6.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

ステップ 6.5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

ステップ 6.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 6.5.3.3.2

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.3.2.1

$\frac{2 π}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{2 π}{3 \cdot 3}$

ステップ 6.5.3.3.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{2 π}{9}$

ステップ 6.6

$\tan (3 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 6.6.2

周期の公式の $b$ を $3$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 3 |}$

ステップ 6.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{π}{3}$

ステップ 6.7

$\frac{π}{3}$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$\frac{π}{3}$ を $- \frac{π}{9}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{9} + \frac{π}{3}$

ステップ 6.7.2

$\frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{9}$

ステップ 6.7.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.3.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{π \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{π}{9}$

ステップ 6.7.3.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{π \cdot 3}{9} - \frac{π}{9}$

ステップ 6.7.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 3 - π}{9}$

ステップ 6.7.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.5.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot π - π}{9}$

ステップ 6.7.5.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{2 π}{9}$

ステップ 6.7.6

新しい角をリストします。

$x = \frac{2 π}{9}$

ステップ 6.8

$\tan (3 x)$ 関数の周期が $\frac{π}{3}$ なので、両方向で $\frac{π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{4 π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

解をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{4 π}{9} + \frac{π n}{3}$ と $\frac{π}{9} + \frac{π n}{3}$ を $\frac{π}{9} + \frac{π n}{3}$ にまとめます。

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.2

$\frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ と $\frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ を $\frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ にまとめます。

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例