三角関数例

$\sec^{2} (x) + 4 \tan (x) = 2$

ステップ 1

$\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $\sec^{2} (x)$ を $1 + \tan^{2} (x)$ で置き換えます。

$(1 + \tan^{2} (x)) + 4 \tan (x) = 2$

ステップ 2

多項式を並べ替えます。

$\tan^{2} (x) + 4 \tan (x) + 1 = 2$

ステップ 3

$u$ を $\tan (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} + 4 (u) + 1 = 2$

ステップ 4

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$u^{2} + 4 u + 1 - 2 = 0$

ステップ 4.2

$1$ から $2$ を引きます。

$u^{2} + 4 u - 1 = 0$

ステップ 5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6

$a = 1$ 、 $b = 4$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.3

$16$ と $4$ をたし算します。

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 7.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

ステップ 7.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ を簡約します。

$u = - 2 \pm \sqrt{5}$

ステップ 8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

ステップ 9

$\tan (x)$ を $u$ に代入します。

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

ステップ 10

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}$

$\tan (x) = - 2 - \sqrt{5}$

ステップ 11

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 11.1

式の右辺を10進数に変換します。

$\tan (x) = 0.23606797$

ステップ 11.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (0.23606797)$

ステップ 11.3

右辺を簡約します。

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ステップ 11.3.1

$\arctan (0.23606797)$ の値を求めます。

$x = 0.2318238$

ステップ 11.4

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 0.2318238$

ステップ 11.5

$x$ について解きます。

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ステップ 11.5.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 0.2318238$

ステップ 11.5.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 0.2318238$

ステップ 11.5.3

$3.14159265$ と $0.2318238$ をたし算します。

$x = 3.37341645$

ステップ 11.6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 11.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 11.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 11.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 11.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 11.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.2318238 + π n, 3.37341645 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

$\tan (x) = - 2 - \sqrt{5}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 12.1

式の右辺を10進数に変換します。

$\tan (x) = - 4.23606797$

ステップ 12.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 4.23606797)$

ステップ 12.3

右辺を簡約します。

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ステップ 12.3.1

$\arctan (- 4.23606797)$ の値を求めます。

$x = - 1.33897252$

ステップ 12.4

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - 1.33897252 - (3.14159265)$

ステップ 12.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 12.5.1

$2 π$ に $- 1.33897252 - (3.14159265)$ をたし算します。

$x = - 1.33897252 - (3.14159265) + 2 π$

ステップ 12.5.2

$1.80262013$ の結果の角度は正で $- 1.33897252 - (3.14159265)$ と隣接します。

$x = 1.80262013$

ステップ 12.6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 12.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 12.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 12.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 12.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 12.7

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 12.7.1

$π$ を $- 1.33897252$ に足し、正の角を求めます。

$- 1.33897252 + π$

ステップ 12.7.2

10進法の概算で置き換えます。

$3.14159265 - 1.33897252$

ステップ 12.7.3

$3.14159265$ から $1.33897252$ を引きます。

$1.80262013$

ステップ 12.7.4

新しい角をリストします。

$x = 1.80262013$

ステップ 12.8

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

すべての解をまとめます。

$x = 0.2318238 + π n, 3.37341645 + π n, 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14

解をまとめます。

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ステップ 14.1

$3.37341645 + π n$ と $0.2318238 + π n$ を $0.2318238 + π n$ にまとめます。

$x = 0.2318238 + π n, 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14.2

$1.80262013 + π n$ と $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ を $0.2318238 + π n$ にまとめます。

$x = 0.2318238 + \frac{π n}{2}, 1.80262013 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14.3

$1.80262013 + π n$ と $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ を $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ にまとめます。

$x = 0.2318238 + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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