三角関数例

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{1}{4}$ を引きます。

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

ステップ 2

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$1 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

ステップ 3.2

$\cos^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

ステップ 3.3

指数を足して $\cos^{2} (x)$ に $\cos^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

$\cos^{2} (x)$ を移動させます。

$\cos^{2} (x) - (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) - \frac{1}{4} = 0$

ステップ 3.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (x) - {\cos (x)}^{2 + 2} - \frac{1}{4} = 0$

ステップ 3.3.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\cos^{2} (x) - \cos^{4} (x) - \frac{1}{4} = 0$

ステップ 4

多項式を並べ替えます。

$- \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

ステップ 5

$u = \cos^{2} (x)$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$- u^{2} + u - \frac{1}{4} = 0$

$u = \cos^{2} (x)$

ステップ 6

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.1

$- 1$ を $- u^{2} + u - \frac{1}{4}$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$- 1$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$- (u^{2}) + u - \frac{1}{4} = 0$

ステップ 6.1.2

$- 1$ を $u$ で因数分解します。

$- (u^{2}) - 1 (- u) - \frac{1}{4} = 0$

ステップ 6.1.3

$- 1$ を $- \frac{1}{4}$ で因数分解します。

$- (u^{2}) - 1 (- u) - (\frac{1}{4}) = 0$

ステップ 6.1.4

$- 1$ を $- (u^{2}) - 1 (- u)$ で因数分解します。

$- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4}) = 0$

ステップ 6.1.5

$- 1$ を $- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4})$ で因数分解します。

$- (u^{2} - u + \frac{1}{4}) = 0$

ステップ 6.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{4}) = 0$

ステップ 6.2.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{2^{2}}) = 0$

ステップ 6.2.3

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- (u^{2} - u + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

ステップ 6.2.4

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$u = 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.5

多項式を書き換えます。

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

ステップ 6.2.6

$a = u$ と $b = \frac{1}{2}$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

ステップ 7

$- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- {(u - \frac{1}{2})}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{{(u - \frac{1}{2})}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 7.2.2

${(u - \frac{1}{2})}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

ステップ 8

$u - \frac{1}{2}$ が $0$ に等しいとします。

$u - \frac{1}{2} = 0$

ステップ 9

方程式の両辺に $\frac{1}{2}$ を足します。

$u = \frac{1}{2}$

ステップ 10

$u = \cos^{2} (x)$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 11

$\cos (x)$ について方程式を解きます。

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ステップ 11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 11.2

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 11.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 11.2.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 11.2.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 11.2.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 11.2.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 11.2.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 11.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 11.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 11.2.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 11.2.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 11.2.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 11.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 11.2.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 11.2.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 11.2.4.6.5

指数を求めます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 11.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 11.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 11.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 12

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 13

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 13.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 13.2

右辺を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 13.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 13.4

$2 π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 13.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 13.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 13.4.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 13.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 13.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 13.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 13.4.3.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 13.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 13.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 13.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 13.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 13.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 13.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 14.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 14.2

右辺を簡約します。

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ステップ 14.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 14.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

ステップ 14.4

$2 π - \frac{3 π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 14.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 14.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 14.4.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 14.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

ステップ 14.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

ステップ 14.4.3.2

$8 π$ から $3 π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 14.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 14.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 14.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 14.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 14.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 16

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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