三角関数例

$\sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$(1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2

$- \cos^{2} (x)$ から $2 \cos^{2} (x)$ を引きます。

$1 - 3 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 3

多項式を並べ替えます。

$- 3 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 3 \cos^{2} (x) = - 1$

ステップ 5

$- 3 \cos^{2} (x) = - 1$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$- 3 \cos^{2} (x) = - 1$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 5.2.1.2

$\cos^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{3}$

ステップ 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

ステップ 7

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 7.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

ステップ 7.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 7.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 7.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 7.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 7.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 7.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 7.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 7.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 7.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 7.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 7.4.6.5

指数を求めます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 8

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 8.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 8.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 8.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 9

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 10

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 10.2

右辺を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{3}}{3})$ の値を求めます。

$x = 0.95531661$

ステップ 10.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 0.95531661$

ステップ 10.4

$x$ について解きます。

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ステップ 10.4.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 0.95531661$

ステップ 10.4.2

$2 (3.14159265) - 0.95531661$ を簡約します。

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ステップ 10.4.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 0.95531661$

ステップ 10.4.2.2

$6.2831853$ から $0.95531661$ を引きます。

$x = 5.32786868$

ステップ 10.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 10.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 10.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 10.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 10.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 10.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.95531661 + 2 π n, 5.32786868 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 11.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 11.2

右辺を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ の値を求めます。

$x = 2.18627603$

ステップ 11.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 2.18627603$

ステップ 11.4

$x$ について解きます。

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ステップ 11.4.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 2.18627603$

ステップ 11.4.2

$2 (3.14159265) - 2.18627603$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 2.18627603$

ステップ 11.4.2.2

$6.2831853$ から $2.18627603$ を引きます。

$x = 4.09690927$

ステップ 11.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 11.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 11.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 11.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 11.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 11.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2.18627603 + 2 π n, 4.09690927 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

すべての解をまとめます。

$x = 0.95531661 + 2 π n, 5.32786868 + 2 π n, 2.18627603 + 2 π n, 4.09690927 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

解をまとめます。

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ステップ 13.1

$4.09690927 + 2 π n$ と $0.95531661 + π n$ を $0.95531661 + 2 π n$ にまとめます。

$x = 0.95531661 + π n, 5.32786868 + 2 π n, 2.18627603 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13.2

$2.18627603 + 2 π n$ と $2.18627603 + π n$ を $5.32786868 + 2 π n$ にまとめます。

$x = 0.95531661 + π n, 2.18627603 + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例