三角関数例

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 1

$u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$2 {(u)}^{2} - 2 u - 1 = 0$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

$a = 2$ 、 $b = - 2$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.2.2

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.3

$4$ と $8$ をたし算します。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

ステップ 4.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ を簡約します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6

$\cos (x)$ を $u$ に代入します。

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

ステップ 8

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 8.1

余弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 9

$\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

ステップ 9.2

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\arccos (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ の値を求めます。

$x = 1.94553075$

ステップ 9.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 1.94553075$

ステップ 9.4

$x$ について解きます。

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ステップ 9.4.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 1.94553075$

ステップ 9.4.2

$2 (3.14159265) - 1.94553075$ を簡約します。

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ステップ 9.4.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 1.94553075$

ステップ 9.4.2.2

$6.2831853$ から $1.94553075$ を引きます。

$x = 4.33765454$

ステップ 9.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 9.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 9.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 9.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 9.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 9.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

すべての解をまとめます。

$x = 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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