三角関数例

$2 \sec^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

ステップ 1

$\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $2 \sec^{2} (x)$ を $2 (1 + \tan^{2} (x))$ で置き換えます。

$2 (1 + \tan^{2} (x)) = 3 - \tan (x)$

ステップ 2

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

ステップ 3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 2 \tan^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

ステップ 4

多項式を並べ替えます。

$2 \tan^{2} (x) + 2 = 3 - \tan (x)$

ステップ 5

$u$ を $\tan (x)$ に代入します。

$2 {(u)}^{2} + 2 = 3 - (u)$

ステップ 6

方程式の両辺に $u$ を足します。

$2 u^{2} + 2 + u = 3$

ステップ 7

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 u^{2} + 2 + u - 3 = 0$

ステップ 8

$2$ から $3$ を引きます。

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

ステップ 9

群による因数分解。

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ステップ 9.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 9.1.1

$1$ を掛けます。

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

ステップ 9.1.2

$1$ を $- 1$ プラス $2$ に書き換える

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

ステップ 9.1.3

分配則を当てはめます。

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

ステップ 9.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 9.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

ステップ 9.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

ステップ 9.3

最大公約数 $2 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

ステップ 10

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

ステップ 11

$2 u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 11.1

$2 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 u - 1 = 0$

ステップ 11.2

$u$ について $2 u - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 u = 1$

ステップ 11.2.2

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 11.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 11.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 11.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{2}$

ステップ 12

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 12.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 13

最終解は $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{1}{2}, - 1$

ステップ 14

$\tan (x)$ を $u$ に代入します。

$\tan (x) = \frac{1}{2}, - 1$

ステップ 15

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\tan (x) = \frac{1}{2}$

$\tan (x) = - 1$

ステップ 16

$\tan (x) = \frac{1}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 16.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (\frac{1}{2})$

ステップ 16.2

右辺を簡約します。

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ステップ 16.2.1

$\arctan (\frac{1}{2})$ の値を求めます。

$x = 0.4636476$

ステップ 16.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

ステップ 16.4

$x$ について解きます。

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ステップ 16.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

ステップ 16.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

ステップ 16.4.3

$3.14159265$ と $0.4636476$ をたし算します。

$x = 3.60524026$

ステップ 16.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 16.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 16.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 16.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 16.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 16.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 17

$\tan (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 17.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 1)$

ステップ 17.2

右辺を簡約します。

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ステップ 17.2.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 17.3

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 17.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 17.4.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 17.4.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 17.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 17.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 17.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 17.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 17.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 17.6

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 17.6.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 17.6.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 17.6.3

分数をまとめます。

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ステップ 17.6.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 17.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 17.6.4

分子を簡約します。

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ステップ 17.6.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 17.6.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 17.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 17.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 18

すべての解をまとめます。

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 19

解をまとめます。

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ステップ 19.1

$3.60524026 + π n$ と $0.4636476 + π n$ を $0.4636476 + π n$ にまとめます。

$x = 0.4636476 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 19.2

$\frac{3 π}{4} + π n$ と $\frac{3 π}{4} + π n$ を $\frac{3 π}{4} + π n$ にまとめます。

$x = 0.4636476 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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