三角関数例

$23 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = \cos^{2} (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\cos^{2} (x)$ を引きます。

$23 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2

$\cos^{2} (x)$ を $1 - \sin^{2} (x)$ で置き換えます。

$23 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$u = \sin (x)$ とします。 $u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$24 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

ステップ 3.1.2

群による因数分解。

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ステップ 3.1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 24 \cdot - 1 = - 24$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.2.1.1

$- 2$ を $- 2 u$ で因数分解します。

$24 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 2$ を $4$ プラス $- 6$ に書き換える

$24 u^{2} + (4 - 6) u - 1 = 0$

ステップ 3.1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$24 u^{2} + 4 u - 6 u - 1 = 0$

ステップ 3.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.1.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(24 u^{2} + 4 u) - 6 u - 1 = 0$

ステップ 3.1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$4 u (6 u + 1) - (6 u + 1) = 0$

ステップ 3.1.2.3

最大公約数 $6 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(6 u + 1) (4 u - 1) = 0$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$(6 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) - 1) = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$6 \sin (x) + 1 = 0$

$4 \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 3.3

$6 \sin (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.1

$6 \sin (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$6 \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 3.3.2

$x$ について $6 \sin (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$6 \sin (x) = - 1$

ステップ 3.3.2.2

$6 \sin (x) = - 1$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$6 \sin (x) = - 1$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 \sin (x)}{6} = \frac{- 1}{6}$

ステップ 3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 \sin (x)}{6} = \frac{- 1}{6}$

ステップ 3.3.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{6}$

ステップ 3.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (x) = - \frac{1}{6}$

ステップ 3.3.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{1}{6})$

ステップ 3.3.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{6})$ の値を求めます。

$x = - 0.16744807$

ステップ 3.3.2.5

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) + 0.16744807 + 3.14159265$

ステップ 3.3.2.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 3.3.2.6.1

$2 (3.14159265) + 0.16744807 + 3.14159265$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 (3.14159265) + 0.16744807 + 3.14159265 - 2 π$

ステップ 3.3.2.6.2

$3.30904073$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 (3.14159265) + 0.16744807 + 3.14159265$ と隣接します。

$x = 3.30904073$

ステップ 3.3.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.3.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.3.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.3.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.3.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.3.2.8

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 3.3.2.8.1

$2 π$ を $- 0.16744807$ に足し、正の角を求めます。

$- 0.16744807 + 2 π$

ステップ 3.3.2.8.2

$2 π$ から $0.16744807$ を引きます。

$6.11573722$

ステップ 3.3.2.8.3

新しい角をリストします。

$x = 6.11573722$

ステップ 3.3.2.9

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 3.30904073 + 2 π n, 6.11573722 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.4

$4 \sin (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$4 \sin (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$4 \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $4 \sin (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$4 \sin (x) = 1$

ステップ 3.4.2.2

$4 \sin (x) = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$4 \sin (x) = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 3.4.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

ステップ 3.4.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1}{4})$

ステップ 3.4.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{4})$ の値を求めます。

$x = 0.25268025$

ステップ 3.4.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

ステップ 3.4.2.6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.6.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 0.25268025$

ステップ 3.4.2.6.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

ステップ 3.4.2.6.3

$3.14159265$ から $0.25268025$ を引きます。

$x = 2.88891239$

ステップ 3.4.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.4.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.4.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.4.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.5

最終解は $(6 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3.30904073 + 2 π n, 6.11573722 + 2 π n, 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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